일차방정식(2) 일차방정식의 응용 (소금물)

일차방정식의 응용 (소금물 농도)

linear equation word problem - salt water solution

"소금의 양과 물의 양을 따로 또 같이~"

" separate & add the amount of salt and the amount of water "

초등부터 배웠어도 항상 어려운 또 하나의 유형이, 소금물 농도의 문제입니다.

(1) 소금의 양을 소금물의 양으로 나누는 분수식의 계산 구조가 어렵게 느껴질 뿐만 아니라,

(2) 서로 다른 소금물의 두 농도의 평균만 단순하게 계산하면, 합해진 소금물의 농도가 된다는 착각 때문이지요.

이 유형 역시, 기본적인 표준형문제 하나 정도를, 시각화된 다이어그램이나 그림의 이미지와 함께 이해하고 기억해 두고, 분수식이 아닌 정방정식으로 식을 세우는 요령만 알면, 큰 어려움 없이 자신감을 가지고 해결할 수 있습니다.

고등수학에서도 용매와 용질의 농도라는 일반화된 유형으로, 문제가 결합되어 자주 출제되니, 철저하게 원리를 이해하고 복습해 두어야 합니다.

중고등과정에서 수학 공부를 잘하는 우수한 학생들의 특징은, 어려운 개념을 그림이나 다이어그램으로 시각화하는 것을, 쉽고 영리하게 잘한다는 점입니다.

고등수학에서도 응용계산으로 결합되는 유형으로 자주 출제되니, 철저하게 원리를 이해하고 복습해 두도록 하세요.

♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧

(1) 우선, 소금물 농도 문제도 제일 먼저, 아래의 그림을 그리거나,
      이 이미지를 머리 속에 떠올려야 합니다.

              A                    B                 A+B

              A 소금의 양       +        B 소금의 양       =     (A+B) 소금의 양

(2) 그리고, [농도 = 소금 ÷ 소금물] 의 나눗셈 분수식이 아니라, 위의 그림에서 붉은 색으로 표시된 소금의 양을 기준으로, [소금의 양 = 소금물 * 농도] 라는 정방정식의 곱셈형태로 식을 세워야 편리합니다.

(3) 또, 아래의 표와 같이 소금물은 항상 [소금+물]로 나누어 생각해야, 정확하게 식을 세우기가 쉽고, [소금의 양 = (소금+물) Χ 농도] 라고 식을 기억해 두어야 문제풀이가 쉬워집니다.

A 소금의 양	B 소금의 양	(A+B) 소금의 양
A 물의 양	B 물의 양	(A+B) 물의 양
A 소금물의 양	B 소금물의 양	(A+B) 소금물의 양

(4) 일반적으로, 농도는 백분율(%) 단위로 나타내니까, 합쳐진 소금물의 농도는
      [소금A + 소금B] ÷ [소금A + 물A + 소금B + 물B] * 100 이 됩니다.

자, 이제 문제를 풀어 볼까요?

───────────────────────────

 12%의 소금물 100 g과 8%의 소금물 200 g 을

 합하였을 때, 전체 소금물의 농도를 구하여라.

───────────────────────────

(1) 우선, 그림이나 이미지를 떠올려야 하겠지요?

      A소금의 양 + B소금의 양  = (A+B)소금의 양

(2) 합친 소금물의 농도를 구하는 문제이니까, 우선 그 농도를 x % 라고 놓아야겠지요?

(3) 소금물 100 g 안의 소금의 양은 얼마일까요?

100g * 12% = 12g

(4) 그럼, 소금물 100 g 안의 소금의 양은 얼마일까요?

200g * 8% = 16g

(5) 합한 소금물의 양은 100 + 200 = 300 g 이지요?

      따라서, 합친 소금물 안의 소금의 양은 300 g * x %

(6) 이제, 소금의 양은 서로 같아야 하니까, 식을 세우면,

100g * 12% + 200g * 8% = 300g * x%

x = (12 + 16) / 3 ~ 9.3

       

따라서, 답은 9.3%

위의 (4)에서 그냥 공식 대입해서 (12 + 16) / (100 + 200) * 100 이라고 풀지 말고,

반드시 (5), (6) 과 같이 x 에 관한 방정식을 다시 생각해서 세워야,

변형된 문제에 대한 응용력이 좋아집니다.

다시 한번 강조하지만, 반드시 그림이나 다이어그램 이미지를 떠올리고, 그 이미지의 개념을 식으로 옮긴다는 생각으로 x 에 관한 방정식을 세우기 바랍니다.

이런 방법에 익숙해져야 수학실력이 제대로 늘고, 복잡하게 변형시킨 심화문제도 쉽게 풀어낼 수 있습니다.

이제, 확인 문제를 한번 풀어 볼까요?

────────────────────────────────

 10%의 소금물 100g 을 가열하여 물 50g 을 증발시킨 후에,

 차가운 5%의 소금물 200g 을 추가로 부어 넣었다.

 이 때, 남아 있는 전체 소금물의 농도를 구하여라.

────────────────────────────────

이차방정식(2) 판별식

판별식

discriminant

"판별식만 보면 이차방정식의 해를 알 수 있어요"

" discriminant tells us the nature of the roots

of a quadratic equation "

  

이차 방정식의 근의 공식에서 유도되는 판별식은, 이차 방정식의 실근의 개수를 판단하는 기본공식입니다.

실근의 개수는 그래프에서는 교점의 개수를 나타내므로, 원과 타원의 방정식을 포함하는 이차함수 또는 이차식의 그래프에서도 많이 응용됩니다.

또한, 이 판별식을 응용하면, 완전제곱 꼴의 이차식 뿐만 아니라, 심화 유형의 최대, 최소문제도 해결할 수 있습니다.

중3과 고1에 배우는 중,고등수학의 핵심이 되는 매우 중요한 개념의 하나이니까, 기초적인 개념을 확실하게 이해하고 응용력도 배양해 두기 바랍니다.

♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧

[ A ] 판별식 D

앞에서 배운 [근의 공식]을 기억해 봅시다.

x = { – b ± √(b² – 4ac)} / 2a

위의 공식에서, 루트 안의 b² – 4ac 를 한 번 살펴 볼까요?

(1) 만일, b² – 4ac > 0 이라면, ax² + bx + c = 0 의 해는 서로 다른 2개의 실근이 되겠지요.

x = { – b + √(b² – 4ac)} / 2a  또는  { – b – √(b² – 4ac)} / 2a

(2) 만일, b² – 4ac = 0 이라면, ax² + bx + c = 0 의 해는 ‘중근'을 갖게 됩니다.

x = { – b ± √(0)} / 2a = – b/2a

(3) 만일, b² – 4ac < 0 이라면, ax² + bx + c = 0 의 해는 어떻게 될까요?

      √(b² – 4ac)가 허수이니까, ± √(b² – 4ac) 2개가 모두 허수가 되겠지요?

      즉, x 는 서로 다른 2개의 허근을 갖습니다.

(4) 여기서, D = b² – 4ac 라고 한다면, D의 부호에 따라서 이차방정식의 근의 성질을 알아낼 수 있으니까, D = b² – 4ac 를 판별식이라 부릅니다.

이제, 배운 것을 정리해 볼까요?

─────────────────────────────────────

 이차방정식 ax² + bx + c = 0의 해는,

 (1) 판별식 D = b² – 4ac > 0일 때, 서로 다른 2개의 실근

 (2) 판별식 D = b² – 4ac = 0일 때, 1개의 실수인 중근

 (3) 판별식 D = b² – 4ac < 0일 때, 서로 다른 2개의 허근

─────────────────────────────────────

참고로, 판별식은 이차식에서만 활용할 수 있다는 점에 유의하기 바랍니다.

가끔 엉뚱하게도, 실근의 개수 문제만 나오면, 다른 형태의 식에서도 판별식을 고민하는 학생들이 있는데, 판별식은 이차 방정식의 근의 공식의 일부이니까, 당연히 2차식 부분에서만 사용할 수 밖에 없겠지요?

[ B ] 판별식 D/4 

똑같은 원리를, 일차항의 계수가 짝수인 이차방정식 ax² + 2b'x + c = 0 에 대입해 볼까요?

x = [–2b' ± √{(2b')² – 4ac}]/2a

x = {–2b' ± √(4b'² – 4ac)}/2a

x = {–2b' ± 2√(b'² – ac)}/2a

x = {–b' ± √(b'² – ac)}/a

붉은 색으로 표시된 이 결과를 짝수공식이라 하고, 이번에는 루트 안의 b'² – ac 가 짝수공식의 판별식이 됩니다.

기호로는 짝수공식일 때의 판별식을 D/4 (= b'² – ac ) 라고 표현합니다.

────────────────────────────────────────

 이차방정식 ax² + 2b'x + c = 0 의 해는,

 (1) 판별식 D/4 = b'² – ac > 0 일 때, 서로 다른 2개의 실근

 (2) 판별식 D/4 = b'² – ac = 0 일 때, 1개의 실수인 중근

 (3) 판별식 D/4 = b'² – ac < 0 일 때, 서로 다른 2개의 허근

────────────────────────────────────────

 [ C ] 판별식의 응용

우선, 문제부터 볼까요?

──────────────────────────────

 이차식 ax² – 6ax + 3 이 완전제곱식이 되도록

 상수 a 의 값을 정하여라.

──────────────────────────────

(1) 완전제곱 이차식이 된다는 것은, a(x – p)²의 꼴

     즉, a(x – p)² = 0 의 해가 중근이 되는 것이므로,

     위 문제에서 주어진 이차식의 판별식 D/4 = (–3a)² – 3a = 0

(2) 따라서, 3a(3a – 1) = 0 이므로, a = 0  또는  1/3

(3) 그런데, 이차식이라 했으니까, a ≠ 0

      따라서,   답은  a = 1/3

마지막으로, 심화유형의 응용문제를 살펴 볼까요?

────────────────────────────────

 실수 x, y 가 방정식 2x² + y² – 6x + 2y + 3 = 0 를

 만족할 때, x, y 의 최대값을 구하여라.

────────────────────────────────

(1) 실수 x, y 라고 했으니까, 뿐만 아니라 최대, 최소에 관한 문제는 당연하게 실수 범위에서 생각하는 것이니까, x, y 는 실수값을 가져야 합니다.

(2) x 의 최대, 최소값을 구하기 위하여는 꺼꾸로, x 의 반대가 되는
      y 에 관하여 내림차순으로 정리합니다.

       y² + 2y + 2x² – 6x + 3 = 0

(3) y 에 관한 이차식에서 y 가 실수값 즉, 실근을 가져야 하니까,

D/4(y) = b'² – ac ≥ 0

 

1² – (2x² – 6x + 3) ≥ 0

(4) 정리해서 계산하면,

2x² – 6x + 3 – 1 ≤ 0

x² – 3x + 1 ≤ 0

{3 – √(3² – 4*1*1)}/2 ≤  x  ≤ {3 + √(3² – 4*1*1)}/2

(3–√5)/2 ≤  x  ≤ (3+√5)/2

따라서, x 의 최대값은 (3+√5)/2

(5) 이번에는, y 의 최대, 최소값을 구하는 것이니까, 꺼꾸로
       y 의 반대가 되는 x 에 관하여 내림차순으로 정리합니다.

       2x² – 6x + y² + 2y + 3 = 0

(6) x 에 관한 이차식에서 x 가 실수값 즉, 실근을 가져야 하니까,

D/4(x) = b'² – ac ≥ 0

 

(–3)² – 2(y² + 2y + 3) ≥ 0

(7) 정리해서 계산하면,

2y² + 4y + 6 – 9 ≤ 0

2y² + 4y – 3 ≤ 0

[ – 2 – √{(– 2)² – 2*(– 3)}]/2 ≤  y  ≤ [ – 2 + √{(– 2)² – 2*(– 3)}]/2

(–2–√10)/2 ≤  y  ≤ (–2+√10)/2

따라서, y 의 최대값은 (–2+√10)/2