일차함수(4) 일차식과 직선의 관계

일차식과 직선의 관계

relationship between linear equations & function graphs

"수직선을 이용하면 연립부등식 풀이도

아주 쉬워지고 실수도 안해요"

" number line diagram makes it easier

to solve systems of inequalities "

일차식을 그래프로 나타내면 직선이 되고, 직선의 그래프를 식으로 나타내면 일차식이 되니까, 함수 방정식과 그 그래프는 마치 동전의 양면과 같다는 아주 중요한 개념입니다.

방정식이나 함수식으로 해결하는 방법은, 마치 나무를 하나 하나 세밀하게 논리적으로 보며, 미시적으로 계산하는 것과 같다고 한다면,

그래프로 해결하는 방법은 직관적이며, 마치 거시적으로 숲을 보면서 문제를 해결하는 종합적인 관점이라고 할 수 있습니다.

중, 고등과정에서는 문제로 주어지는 방정식이나 함수식이 거의 대부분 그래프로 그려지는 범위 내에서 공부하기 때문에, 그래프로 생각하고 해결하는 것이 상대적으로 유리하고, 상위수준의 방법이라 할 수 있습니다.

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앞에서 배운, 일차방정식을 복습해 볼까요?

(1) 5x – 2 = 2x + 7 을 계산할 때,

(2) [등식의 성질]을 이용하면,  3x = 9

(3) 따라서, 양변을 3으로 나누면,  x = 3

위 내용을 각각의 단계별로 그래프를 이용해서 비교해 볼까요?

(1) 좌변과 우변을 각각의 함수식으로 생각하면, y = 5x – 2 와 y = 2x + 7 의 두 직선식이 같다는 뜻이지요? 따라서, 아래 그림에서 파란색 두 직선의 교점 A 이 됩니다.

(2)번의 식에서도, 양변을 각각의 함수식으로 생각하면,  y = 3x 와 y = 9 의 두 직선식이 같다는 뜻이고, 아래 그림에서 빨간색 두 직선의 교점 C 가 됩니다.

(3) 마지막으로, 양변을 각각 함수식으로 생각하면,  y = x 와 y = 3 의 두 직선의 식이 같다는 뜻이고, 위 그림에서 검은색 두 직선의 교점 E 가 됩니다.

(4) 또는, x = 3 을 그대로 그래프로 나타내면, y 값에 관계없이 x 값은 언제나 3 이라는 뜻을 갖는, x 축에 수직인 초록색 점선을 나타냅니다.

(5) 즉, 하나의 방정식은 [등식의 성질]을 이용해서 여러 가지로 바꾸더라도, 등호가 성립하는 한, 좌변과 우변의 함수식으로 나타내는 두 그래프의 교점의 x 좌표는 언제나 그 방정식의 해가 된다는 것을 알 수 있습니다.

따라서, 방정식을 그래프로 풀 때에는, 식의 등호가 성립하는 한, 문제를 풀기 쉬운 형태로 바꾼 후, 그래프에서 두 직선의 교점의 x 좌표를 구하면 됩니다.

특히, 방정식을 f (x) = 0 의 꼴로 정리한다면,

(1) 우변의 그래프는 항상 y = 0. 즉, x 축이 되니까, 해를 구하는 것이 더욱 편리해 지겠지요?

(2) 그래서, 주어진 방정식을 풀 때에는, f (x) = 0 의 꼴로 정리한 다음, 우변만 y = f (x) 라는 한 개의 그래프만 가지고 x 축과의 교점을 생각하는 것이 일반적입니다.

특히 조금 어려운 문제의 유형에서 방정식의 x 값을 구하는 것이 아니라, 해의 개수를 묻는 경우에는, 그래프의 교점의 개수만 알면 되니까 당연히 그래프만으로 풀어내야 하지요.

예를 하나 볼까요?

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 다음 방정식이 2개 이상의 해를 갖도록 하는 k 값의 범위를 구하여라.

       x + | 2 x – 1 | = k – 3

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(1) x 값을 구하는 것이 아니라, 해의 개수를 묻는 경우이니까, 당연히 그래프 만으로 풀어내야 하겠지요?

(2) 좌변과 우변을 어떻게 놓아야, 그래프를 쉽게 그리기가 좋을까요?

     식을 | 2 x – 1 | + 3 = – x + k 로 정리한 다음,

(3)  y = | 2 x – 1 | + 3 ⋯ ① 과  y = – x + k ⋯ ② 로 놓고 그래프를 그리는 것이 보다 쉬운 방법이겠지요?

(4) 위의 그래프에서 y = | 2 x – 1 | + 3 ⋯ ①은 검은색의 꺽인 실선이고, 우하향의 직선들이  k 값의 변화에 따른 y = – x + k ⋯ ②를 나타내지요?

(5) 빨간색 점선일 때는 만나지 않고, 파란색 실선일 때 교점이 1개가 되는군요…

(6) 그래프에서 보면, 파란색 실선보다 위에 있는 파란색 점선들인 경우에야 2개의 교점을 갖지요?  따라서, 답은 k > 3.5

이제, 비슷한 유형의 확인 문제를 혼자서 한번 더 풀어 보세요.

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 방정식 x – | | x | – 1 | + k = 0 가 오직 하나의 해를 갖도록

  k 값의 범위를 구하여라.

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지수법칙(1) 지수법칙

지수법칙

Laws of Indices

"지수기호를 쓰니까 큰 수의 표현과 계산이 너무 편리해요"

" exponents are very useful

to express and calculate large numbers "

지수법칙은 수나 식의 계산에서, 거듭제곱을 포함하는 곱셈과 나눗셈을 처리하는 데 기초가 되는 기본개념입니다.

중학수학의 표준교과에서는 지수가 자연수인 경우로 한정하고 있지만, 보다 다양한 응용력을 갖추기 위해서는 적어도 정수 범위까지는 알아 두기를 권하고 싶습니다.

만일, 심화과정이나 고등수학의 수준이라면 분수형태의 지수 즉, 유리수 범위까지는 정확히 이해해 두어야, 쉽게 응용력을 발휘할 수 있습니다.

이 단원은 고등수학에서 배우는 [지수와 로그], 만일 이과라면 [지수함수와 로그함수] 단원까지 연계되니까 기초적인 개념과 원리를 확실하게 다져 두기 바랍니다.

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예를 들어, 2 를 다섯 번 거듭해서 곱하는 경우를 표현한다고 할 때, 2×2×2×2×2 보다 간편한 표시 방법은 없을까요?

지수라는 기호를 사용하면, 2×2×2×2×2 를 2⁵ 이라고 표현하고 ‘2 의 다섯 제곱’ 또는 ‘2 의 오승’ 이라고 읽습니다.

이 때, 2 를 ‘밑’ 이라 하고, 위 첨자의 작은 숫자로 표시한 5 를 ‘지수’ 라고 합니다.

만일 문자를 써서 일반적인 표현으로 a^x 이라고 나타내면, a 를 x 번 거듭해서 곱하라는 표현이고, ‘a 의 x 제곱’ 또는 ‘a 의 x 승’ 이라고 읽습니다. 

이 때, a 가 ‘밑’이 되는 것이고 x 는 ‘지수’가 됩니다. 이 밑과 지수라는 용어는 고등수학의 [로그] 단원에서도 그대로 사용되니, 잘 기억해 두기 바랍니다.

그러면, 숫자들의 쉬운 예들을 가지고, 거듭제곱의 곱셈과 나눗셈이 지수로는 어떻게 표현되는 지를 알아 보도록 할까요?

(1) 5² x 5³ = 5^{2 + 3} = 5⁵

5² = 5 x 5

5³ = 5 x 5 x 5

∴  5² x 5³ = (5 x 5) x (5 x 5 x 5) = 5⁵

(2) (5²)³ = 5^{2 x 3} = 5⁶

(5²)³ = (5²) x (5²) x (5²)

∴  (5²)³ = 5^{2 + 2 + 2} = 5^{2 x 3} = 5⁶

특히, 이 공식은 지수를 서로 교환하는 방법으로도 많이 쓰입니다.

(5²)³ = 5^{2 x 3} = 5⁶ = 5^{3 x 2} = (5³)²

(3) (5 x 7)³ = 5³ x 7³

(5 x 7)³ = (5 x 7) x (5 x 7) x (5 x 7)

       = (5 x 5 x 5) x (7 x 7 x 7)

= 5³ x 7³        .

이 공식은 마치 분배법칙이 적용되는 것으로 간주하고 기억해 두면 편리합니다.

이번에는, 숫자들의 쉬운 예들을 가지고 거듭제곱의 나눗셈에 관하여 알아 보도록 할까요?

 (4) ( 2⁵ / 2³ ) = 2^{5 - 3} = 2²

( 2⁵ / 2³ ) = ( 2×2×2×2×2 ) / ( 2×2×2 )

∴  ( 2⁵ / 2³ ) = 2 x 2 = 2^{5 - 3} = 2²      .

(5) ( 2 / 5 )³ = 2³ / 5³

( 2 / 5 )³ = ( 2 / 5 ) x ( 2 / 5 ) x ( 2 / 5 )

= ( 2×2×2 ) / ( 5×5×5 )

= 2³ / 5³

이 공식도 분배법칙이 적용되는 것으로 간주하고 기억해 두면 편리합니다.

참고로, 밑이 0 이 되는 경우는 논란이 있으므로 표준수학에서는 생각하지 않습니다.

(1) 0⁰ 은 어쨌든지 0 의 거듭제곱이니까 0 이 되어야 한다는 주장과

(2) 일반적으로 (실수)⁰ = 1 이라는 원칙을 지키자는 주장들이 있기 때문입니다.

그러면, 위에서 공부한 것을 문자로 일반화시켜서 [지수법칙] 을 정리해 보도록 할까요?

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자연수 m, n 과 0 이 아닌 실수 a, b 에 대하여,

(1)  a^m x aⁿ = a^m+n

(2)  (a^m)ⁿ = a^m x n = a^mn

(3)  (ab)^m  = a^mb^m

(4)  a^m / aⁿ = a^{m – n}

(5)  ( a / b )^m = a^m / b^m

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공식도 정리했으니까, 확인 문제를 한 번 풀어 볼까요?

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3^n–1 = A 그리고 5^n–2 = B 라 정의할 때, 15ⁿ⁺¹ 을 A, B 및 숫자 만으로 나타내어라.

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(1) 우선, 구하려는 15ⁿ⁺¹ 의 밑인 15 가 합성수이니까, 소인수로 분해를 해 봐야 하겠지요?

15ⁿ⁺¹ = (3 x 5)ⁿ⁺¹

(2) 위에서 배웠던 지수법칙을 적용하고, 문제에서 정의된 A, B 의 형태로 지수를 변형시키면,

(3 x 5)ⁿ⁺¹ = 3ⁿ⁺¹ x 5ⁿ⁺¹

= 3² x (3^n-1) x 5³ x (5^n-2)

= 3² x A x 5³ x B

= 9 x 125 x AB

∴  15ⁿ⁺¹ = 1125AB

확인 문제를 하나 더 풀어 볼까요?

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아래 식의 값을 간단한 자연수로 나타내어라.

( 4^n-2 + 4^n–1 + 4ⁿ + 4ⁿ⁺¹ ) / ( 2^2n–5 + 2^2n–3 + 2^2n–1+ 2²ⁿ⁺¹ )

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(1) 분모와 분자의 밑을 공통되는 기준값인 2 의 거듭제곱으로 표현하는 것이 좋겠지요? 따라서, 분자를 밑을 2 로 하는 지수형태로 바꾸면,

4^n–2 + 4^n–1 + 4ⁿ + 4ⁿ⁺¹

= (2²)^n–2 + (2²)^n–1 + (2²)ⁿ + (2²)ⁿ⁺¹

= 2^2n–4 + 2^2n–2 + 2²ⁿ + 2²ⁿ⁺²

(2) 이제, 분배법칙을 이용해서 분자를 공통인수로 묶으면,

2^2n–4 + 2^2n–2 + 2²ⁿ + 2²ⁿ⁺²

= 2^2n–4 (1 + 2² + 2⁴ + 2⁶)

(3) 같은 방법으로 분모도 공통인수로 묶으면,

2^2n–5 + 2^2n–3 + 2^2n–1+ 2²ⁿ⁺¹

= 2^2n–5 (1 + 2² + 2⁴ + 2⁶)

(4) 따라서, 공통인수로 분자, 분모를 간단하게 약분만 하면 주어진 식의 값은,

{2^2n–4 (1 + 2² + 2⁴ + 2⁶)} / {2^2n–5 (1 + 2² + 2⁴ + 2⁶)}

= 2^2n–4 / 2^2n–5 

= 2^{(2n–4) – (2n–5)}

= 2¹

= 2 

효율적이고 영리한 계산에 관하여, 노파심에 다시 한번 강조하지만, 약분할 공통인수라고 판단된다면  미리 계산하지 않는 것이 당연히 좋은 방법입니다.

(1 + 2² + 2⁴ + 2⁶)

= (1 + 4 + 16 + 64)

= 85 ???

(1) 숫자라 하더라도 문자로 간주하고, (2) 반드시 그대로 둔 상태에서 약분을 다 끝낸 후에야, 마지막으로 꼭 필요한 계산만 간단하게 하기 바랍니다.

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