이등변삼각형과 외각의 성질

이등변삼각형과 외각의 성질

💡 핵심 원리: 지그재그 각 찾기

이 유형은 두 가지 성질을 '번갈아' 사용하는 것이 핵심입니다.

1. 이등변삼각형의 성질: 두 변의 길이가 같으면 그 아래의 두 밑각의 크기도 같다.
2. 삼각형의 외각의 성질: 삼각형의 한 외각은 이웃하지 않는 두 내각의 합과 같다.

도형이 옆으로 길어질수록 각의 크기는 x → 2x → 3x ... 와 같이 일정한 규칙을 가지고 커지게 됩니다.

① 밑각이 같음을 확인(x, x)   ➜   ② 외각(2x)을 구함   ➜   ③ 새로운 이등변의 밑각(2x) 확인

📜 재미있는 수학 이야기: 탈레스와 피라미드의 그림자

"막대기 하나로 거대 건축물을 정복하다"

고대 그리스의 현자 탈레스는 이집트 왕으로부터 "피라미드의 높이를 알아내 보라"는 난제를 받았습니다. 그는 피라미드에 올라가지 않고도 이등변삼각형의 원리를 이용해 이를 해결했습니다.

어떻게 재었을까요?
탈레스는 막대기를 지면과 수직으로 세우고, 태양 빛이 만들어내는 막대기 그림자의 길이를 관찰했습니다. 해가 이동하며 막대기의 길이와 그림자의 길이가 정확히 같아지는 순간, 그는 피라미드로 달려갔습니다.

그 순간 피라미드와 태양 빛이 이루는 삼각형 역시 직각이등변삼각형이 됩니다. 따라서 [피라미드 높이 = 피라미드 그림자 총 길이]가 성립합니다. 이때 그림자의 길이는 피라미드 밖으로 나온 그림자에 밑면 정사각형 한 변의 길이의 절반을 더해 정확한 중심까지의 거리를 계산했습니다.

[그림 1] 태양빛이 45도일 때 형성되는 직각이등변삼각형

✍️ 실전 연습 문제 (난이도별)

Step 1. 기초 탄탄

삼각형 ABC에서 AB = AC = CD이다. 각 A = 40도일 때, 각 DCE의 크기를 구하시오. (단, 점 E는 BC의 연장선 위의 점이다.)

1단계 삼각형 ABC에서 AB = AC이므로 각 B = 각 A = 40도
2단계 삼각형 ABC의 외각 각 ACD = 각 A + 각 B = 40도 + 40도 = 80도
3단계 삼각형 ACD에서 AC = CD이므로 각 ADC = 각 ACD = 80도
4단계 삼각형 ABD에서 외각 각 DCE = 각 A + 각 ADC = 40도 + 80도 = 120도

Step 2. 응용력 강화

삼각형 ABC에서 AB = AC이고, 각 A = 36도이다. 각 B의 이등분선이 AC와 만나는 점을 D라고 할 때, 각 BDC의 크기를 구하시오.

1단계 삼각형 ABC에서 각 B = 각 C = (180도 - 36도) / 2 = 72도
2단계 BD가 각 B의 이등분선이므로 각 DBC = 72도 / 2 = 36도
3단계 삼각형 BCD에서 각 BDC = 180도 - (각 DBC + 각 C) = 180도 - (36도 + 72도) = 72도

Step 3. 고난도 도전

그림과 같이 AB = BC = CD = DE인 도형이 있다. 각 E = x라 하고, 각 BAC = 105도일 때, x의 값을 구하시오.

거꾸로 추적하기 풀이
1. 각 E = x 이면 삼각형 DEC에서 각 DCE = x (이등변)
2. 삼각형 DCE의 외각 각 BDC = x + x = 2x
3. 삼각형 BCD에서 각 DBC = 각 BDC = 2x (이등변)
4. 삼각형 BDE의 외각 각 ACB = 각 E + 각 DBC = x + 2x = 3x
5. 삼각형 ABC에서 각 BAC = 각 ACB = 3x (이등변)
6. 문제에서 각 BAC = 105도라고 했으므로 3x = 105도
7. x = 105 / 3 = 35도