집합(1) 집합의 정의

집합의 정의

definition of a set

"자연과학의 기초언어가 수학이라면

수학의 기초언어는 집합입니다"

" If math is the language of science,

then set theory is the language of math "

최근 중학 교과개정에서 ‘집합 (set theory)’ 단원이 빠졌지만, 수학공부에 기초가 되는 중요한 개념이기 때문에, 표준 교과과정과 관계없이 기본적인 개념과 표현방법 및 기호는 반드시 알아두어야 합니다.

특히, 학생들이 비교적 어려워하는 아래의 단원들에서 합집합 과 교집합 (또는 공통집합) 의 개념이 반드시 필요합니다.

(a) 연립방정식과 연립부등식 (systems of equations and inequalities)

(b) 절대값이 들어간 방정식과 부등식 (equations and inequalities with absolute values)

(c) 그래프를 이용한 최대값과 최소값 (finding minimum & maximum values using graphs)

(d) 경우의 수와 순열, 조합 및 확률 (counting outcomes, permutations, combinations & probabilities)

중 1 처음 시작부터, 최소한의 기본 개념과 집합기호는 벤 다이어그림 (Venn diagram) 등의 시각적 응용력과 함께, 반드시 익혀 두도록 하기 바랍니다.

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[ A ] 기본 용어

아래 그림에서 빨간색의 타원으로 표시된, 점 a, b, c 로 이루어진 A 라는 모음을 가리킬 때, A = { a, b, c } 라 표현하고, a, b, c 들을 각각 원소 (element), 이들의 모음인 A 를 집합 (set) 이라고 합니다.


이 때, '원소 a 는 집합 A 에 속한다' 고 표현하고, 기호로는 a ∈ A 와 같이, '원소 d 는 집합 A 에 속하지 않는다' 라고 표현하고, 기호로는 d ∉ A 와 같이 나타냅니다.

위 그림에서 노란색으로 표시된, 집합 B = { a, b, c, d } 라고 한다면, A 는 B 에 포함되니까, '집합 A 는 집합 B 의 부분집합 (subset)' 또는 '집합 A 는 집합 B 에 포함된다' 라고 표현하고 A ⊂ B 의 기호를 사용합니다.

일반적으로, 부분집합이라는 표현은 B ⊂ B 와 같이 같은 집합일 때도 적용됩니다. 위의 예에서 집합 A 는 B 에 포함되는 작은 집합이니까, 특별히 집합 B 의 진부분집합이라고 부르고 A ⊊ B 라는 기호를 사용합니다.

[ B ] 집합의 원소


앞에서 예를 들었던 집합 A , B 에 대해서, 원소의 개수 (number of elements) 를 나타낼 때는 기호를 써서,  n (A) = 3, n (B) = 4 와 같이 표현합니다.

집합 사이의 관계를 시각적으로 잘 보여 주는, 벤 다이어그램 (Venn diagram) 을 사용해서 조금 더 구체적으로 알아 볼까요?

위의 그림과 같이, 파란색으로 표시된 집합 C = { b, c, e, f } 가 있을 때,

(1) 합집합 A∪C 는 집합 A 에 속하거나 또는 집합 C 에 속하는 원소들의 집합으로 A∪C = { a, b, c, e, f } 이고, 수학적 개념으로는 덧셈 ( + ) 의 뜻도 가지고 있습니다.

(2) 교집합 A∩C 는 집합 A 에 속하고 그리고 동시에 집합 C 에 속하는 원소들의 집합으로 A∩C = { b, c } 를 말하며, 수학적 개념으로는 곱셈 ( x ) 의 뜻으로도 사용됩니다.

(3) 전체집합 U 는 위 그림에서 갈색의 직사각형으로 나타낸, 모든 원소를 전부 포함하는 집합을 말합니다.

(4) 여집합 A^c 는 전체집합 U 에는 속하지만, A 에는 속하지 않는 원소들의 집합으로 A^c = { d, e, f, g, h } 가 됩니다.


(5) 차집합 A – C 는 집합 A 에는 속하지만 C 에는 속하지 않는 원소들의 집합으로 A – C = { a } 를 말합니다. 마치 뺄셈을 한 것과 같지요?

반대로, 차집합 C – A 는  집합 C 에는 속하지만, A 에는 속하지 않는 원소들의 집합으로 C – A = { e, f } 를 말합니다.

또, 차집합은 여집합 기호를 사용해서, A – B = A∩B^c 로 정의하기도 합니다.

집합의 기본적인 개념과 정의 및 기호들은, 반드시 복습하면서, 핵심 내용을 깔끔하게 정리해 두기 바랍니다. 배운 것을 스스로 복습하면서 요점을 정리해 나갈 때, 수학실력은 쑥쑥 자라나게 됩니다.

어려운 심화수준의 수학공부도, 기초 단계에서는 정의나 기초공식들 그리고 기본정리들을 반드시 외워 두어야 합니다.

아무리 창의적이거나 혹은 심화 수준의 공부라 하더라도 기초단계에서는 기본용어나 정리를 외우고, 그 바탕 위에서 분석력이나 종합적 사고력을 키워 나가는 것입니다.





여집합의 개념을 활용하는 문제의 예를 볼까요?

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1000 미만의 자연수 중에서, 13 의 배수가 아닌 것의 개수를 구하여라.

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(1) 13 의 배수가 아닌 것을 그냥 세는 것은 너무 심하지요? 그렇게 세고 있는 학생들에겐 문제에서 '1000 미만' 을 '10억 미만' 으로 바꿉니다. ^^

(2) 경우의 수가 규칙성도 없고, 너무 많으니까…, 앞에서 배운 여집합의 개념을 활용해서, 반대의 방법으로 구하는 건 어떨까요?

(3) 어떤 경우들이 있는지를 따져 보다가, 그 경우의 수가 너무 많거나 규칙이 보이지 않을 때, 반대로 생각해서 해결하는 것이 여사건 또는 여집합의 방법입니다.

(4) 전체에서 13 의 배수의 개수만 빼주면 되겠지요?

999 – (13 의 배수의 개수)

= 999 – 76

= 923

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소수(2) 무한소수와 무리수

무한소수와 무리수

infinite decimals & irrational numbers

"집합을 알면 반례 찾기가 쉬워져요"

" understanding the truth set makes it easier

to find counter example "

앞에서 설명한 [순환하는 무한소수] 와 관련하여 무한소수는 유리수인지 혹은 무리수인지를 혼동하는 중학생들이 의외로 많아, 보충설명의 성격으로 추가설명을 하고자 합니다.

과거의 중학생들에 비해, 이 내용과 관련된 진위형 문제에서 많은 오답이 나오는 것을 보면, 아마도 기본적인 집합과 명제의 개념을 배우지 못하는 개정표준교과의 영향인 것으로 보입니다.

표준교과 외의 내용이기는 하나, 기초적인 집합과 명제의 개념은 상위 수준의 수학을 공부하는데 반드시 필요한 기본 개념이니까, 정확한 기초 개념과 원리를 이해해 두기 바랍니다.

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[ A ] 명제와 진리집합


위의 질문에 대답하기 위해서는 먼저 '집합'을 알아 두어야 합니다. 우선 간단하게 기초적인 '집합'의 개념을 공부해 보도록 할까요?

가장 일반적이고 흔한 예인 ‘사람은 동물이다’ 라는 문장을 가지고 [명제] 와 [진리집합] 에 관하여 알아 보도록 합시다.

위의 예와 같이 참과 거짓을 객관적으로 판별할 수 있는 문장을 [명제] 라고 하고, 소문자를 써서 p → q 와 같이 화살표 기호로 표현합니다.

이 때, 위에서 예를 든 문장으로 본다면, p 에 해당하는 ‘사람은 (또는 사람이면)’ 부분을 [가정] 이라 하고, q 에 해당하는 ‘동물이다’ 부분을 [결론] 이라고 합니다.

또, [가정] 또는 [결론] 부분의 모든 원소의 집합을 [진리집합] 이라고 부르며, 각각 P, Q 의 대문자로 표현합니다.

참과 거짓을 판별한다면, 예로 든 명제, ‘사람은 동물이다’ 는 참이지요? 이 원리를 진리집합인 P = {x | x 는 사람} 과 Q = {y | y 는 동물} 간의 집합의 관계로 살펴 볼까요?

위의 벤다이어 그램에서 보는 것과 같이, 보라색 원의 모양인 집합 P = {x | x 는 사람} 가 분홍색과 보라색 전체인 타원 모양의 집합 Q = {y | y 는 동물} 의 내부에 포함되어 있는 진부분 집합이지요?

즉, P⊂Q 이니까, 집합P 의 원소가 되는 어떤 사람이라도, 집합 Q 의 원소인 동물이 된다는 것은 참이 됩니다.

그렇다면, 원래 명제의 가정과 결론을 바꾸어 놓은 [역] q → p 는 참이 될까요?

위의 벤다이어 그램에서 보면, P⊂Q 이고, 차집합 Q – P 부분인 분홍색 부분에 있는 동물은 [인간이 아닌 동물] 이니까, 참이 될 수 없다는 반례가 되는 것이지요. 따라서, [역] q → p 는 거짓이 됩니다.

이렇게, 벤다이어 그램에서 진리집합의 포함관계를 살펴보면, 판단하기가 어려운 명제의 참과 거짓을 쉽게 알아낼 수 있습니다.

하나만 더, 간단한 예를 들어 본다면, “음(–) 이 아닌 정수는 자연수이다” 라는 명제는 참일까요?

음(–) 이 아닌 정수의 진리집합을 P = {0, 1, 2, 3, ⋯ } 그리고 자연수의 진리집합을 Q = {1, 2, 3, ⋯ } 라 놓고, 집합의 포함관계를 보면, P⊃Q 이니까, 위의 명제는 거짓이라는 것을 알 수가 있습니다. 이 때, 차집합 P – Q 의 원소인 ' 0 ' 이 그 반례가 되는 것이지요.

[ B ] 무한소수와 무리수의 집합관계

자, 이제 그러면, 처음 질문에 대답하기 위해서, 무한소수와 무리수의 집합 관계를 살펴 볼까요?

유 리 수 (Q) rational numbers	유한소수(A) finite decimals	0.125 = 1/8	유한소수(F) finite decimals
	순환하는 무한소수(B) infinite repeating decimals	0.1333⋯ = 2/15	무한소수(R) infinite decimals
무 리 수 (I) irrational numbers	순환하지 않는 무한소수(C) infinite non-repeating decimals	3.1415⋯ = π

(1) 무한소수는 순환하는 소수와 순환하지 않는 소수로 이루어져 있으니까, R = B∪C 가 성립합니다.

(2) 또, 위의 표에서 보면, 유한소수나 순환하는 무한소수는 유리수이니까, A⊂Q, B⊂Q 그리고 (A∪B)⊂Q 가 되는 것을 알 수 있습니다.

그러면, 최초의 질문이었던, 명제 “무한소수는 무리수이다”는 참일까요?

위에서 배운 기호로 표현하자면, 명제 r → i 의 진위 여부를 판단하는 것이니까, 이 명제가 참이 되기 위하여는, 진리집합 기호로는, R⊂I 이 성립해야 되겠지요?

그런데, 무한소수 중에서 [순환하는 무한소수]는 유리수이니까, 집합 B 는 위의 명제를 거짓으로 판별할 수 있는 증거인 반례가 됩니다. 즉, 위의 명제는 거짓입니다.

이와 같은 방법으로, 집합의 포함관계를 나타내는 벤다이어 그램을 활용해서, 진위문제 유형들을 정복해 나가기 바랍니다.

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