대칭이동(2) 점의 대칭이동

점의 대칭이동

reflecting point graph

"선대칭과 점대칭의 두가지가 있어요"

" reflecting a point across a line or another point "

평행이동과 대칭이동은 주어진 방정식이나 부등식을 그래프로 자유자재로 해석하고 응용할 수 있는 기본적인 수학 해석능력의 가장 기초가 되는 개념입니다.

기초적인 개념과 원리부터 확실하게 이해하고 다양하게 응용력을 키워두기 바랍니다.

선이나 점에 대한 대칭이동은, 평행이동과 달리, 함수식의 그래프나 점의 이동의 원리가 동일합니다.

따라서, 이해하기 쉽도록, 우선 점의 이동으로 원리를 설명하고,

그 대칭이동의 원리가 적용되는 결과를, 뒤의 단원에서 함수 방정식의 그래프로 예를 들면서 살펴보도록 하지요.

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I 사분면 위의 한 점 P = (3, 2) 를  x 축,  y 축 그리고 원점에 대해 대칭 이동시킨 새로운 점들의 좌표는 어떻게 될까요?

아래의 그래프를 볼까요?

(1) 먼저, 빨간색 점선을 따라 x 축 대칭인 점 Q 의 좌표는 어떻게 될까요?

     x 좌표는 그대로인데, y 좌표만 부호가 반대가 되니까

       Q = (3, – 2) 이지요?

(2) 파란색 점선을 따라 y 축 대칭인 점 R 은, y 좌표는 그대로인데

      x 좌표만 부호가 반대가 되니까 R = (– 3, 2)

(3) 초록색 점선을 따라 원점 대칭인 점 S 는 x 좌표, y 좌표의 부호가

      모두 반대가 되니까 S = (– 3, – 2)가 됩니다.

      특히, 원점 대칭은 [x축 대칭] 그리고 동시에 (∩) [y축 대칭]의 교집합 개념이지요.

(4) 이번에는 점 R = (– 3, 2)을 기준으로, 검은색 점선을 따라 x 축 대칭인 점 S 를 볼까요?

      x 좌표는 그대로인데, y 좌표만 부호가 반대가 되니까,  S = (– 3, – 2)가 되지요?

위 그림의 P, Q, R, S 중 하나를 기준으로 잡고 x 축이나 y 축 또는 원점에 대칭인 점을 실제로 구해 보면서, 일반적인 규칙을 스스로 찾아 보기 바랍니다.

자 그럼 이제, 찾아낸 것을 문자를 써서, 일반화해 볼까요?

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 점 (a, b)에 대하여,

 (1) x 축에 대칭인 점의 좌표는 b 대신에 – b 를 대입한 (a, – b)

 (2) y 축에 대칭인 점의 좌표는 a 대신에 – a 를 대입한 (– a, b)

 (3) 원점에 대칭인 점의 좌표는 a 대신에 – a 를 그리고 동시에

       (∩) b 대신에 – b 를 대입한 (– a, – b)

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이번에는 점 P = (a, b) 를 직선에 대해 대칭이동시킨 새로운 점의 좌표는 어떻게 될까요? 아래의 그래프를 보며, x = 3 이라는 직선에 대칭시킨 점 Q 를 살펴 볼까요?

(1) y 좌표는 그대로 인데, 위 그림에서 빨간색 점선의 길이가 되는

     x = 3 * 2 = 6 이라는 직선으로부터 a 만큼 왼쪽에 있으니까,

      x 좌표는 6 – a 가 되겠죠?  따라서, Q = ( 6 – a , b )

이번에는, 점 R = (c, d) 를 아래 그림에서 보는 것과 같이, y = 2 라는 직선에 대칭시킨 점 S 를 알아 볼까요?

(2) x 좌표는 그대로 인데, y 좌표는 아래 그림에서 보이는 빨간색

    점선의 길이인 d 만큼 y = 2 * 2 = 4 라는 직선으로부터 아래쪽에

    있으니까, 4 – d 가 되겠죠?   따라서, S = ( c , 4 – d )

만일, 점 P = (a, b)를 점 (3, 2) 에 대하여 대칭이동시키면, 새로운 점 T 의 좌표는 어떻게 될까요?

앞에서, 점 (3, 2)에 대한 대칭이동은, x = 3 이라는 직선에 대해 대칭이동 그리고 동시에

  y = 2 라는 직선에 대칭시킨 교집합의 개념이라는 것을 배웠지요?

(3) 따라서, x 좌표는 6 – a 가 되고, y 좌표는 4 – b 가 되니까,

      새로운 점  T = ( 6 – a, 4 – b )

이제, 공부한 원리를 문자로 일반화해 볼까요?

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 점 (a, b)에 대하여,

 (1) 직선 x = α 에 대칭 시킨 점의 좌표는,

       a 대신에 2α – a 를 대입한 ( 2α – a , b )

 (2) 직선 y = β 에 대칭 시킨 점의 좌표는,

       b 대신에 2β – b 를 대입한 ( a , 2β – b )

 (3) 점 (α, β)에 대칭 시킨 점의 좌표는, a 대신에 2α – a 를,

       그리고 b 대신에 2β – b 를 대입한 ( 2α – a , 2β – b )

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마지막으로 y = x 라는 직선에 대칭인 경우를 살펴 볼까요?

위의 그림에서 보는 것과 같이, 점 A 와 B 는 초록색 점선의 길이가 같으니까, 서로 x 좌표와 y 좌표를 서로 맞바꾸면 되겠지요?

따라서, 점 A = (a, b)이라면, 점 B = (b, a)가 되고, 이 원리는 함수와 역함수의 그래프에서도 그대로 적용이 되니까, 정확하게 이해하고 암기해 두어야 합니다.

이제, 마지막으로 공부한 원리도 문자로 일반화해 볼까요?

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 점 (a, b) 에 대하여, y = x 라는 직선에 대칭 시킨 점의 좌표는,

  a 대신에 b, 그리고 b 대신에 a 를 대입한 (b, a)

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그러면 기본개념을 이해했는지 확인하기 위해서, 다음 문제들을 한번 풀어 볼까요?

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 점 (a, b) 를 직선 y = x 에 대칭시킨 후,

 다시 y 축에 대칭시켰더니, (– 2, 5)가 되었다고

 할 때, a, b 의 값을 구하여라.

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 점 (a, b) 를 오른쪽으로 3, 아래쪽으로 2 만큼 옮긴 후,

 직선 y = x 에 대칭시켰더니, (a – 5, b – 3)이 되었다.

  a, b 의 값을 구하여라.

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이차함수(1) 이차함수의 그래프

이차함수의 그래프

quadratic function graphs

"포물선 그래프를 그려 볼까요?"

" Let's draw a quadratic function graph - a parabola "

이차함수의 그래프는 중 3 과정뿐만 아니라, 고등과정의 이차 방정식 및 미적분 등에 이르기까지, 중고등수학 전 과정에서 연계형 유형으로 다양하게 응용되는 가장 기본적인 개념입니다.

수학실력의 차이는, 함수와 그래프에서 비롯된다고 할 정도로 중요하니, 기초부터 확실하게 익혀 두기 바랍니다.

문과라 하더라도, 고등과정의 다항함수의 미적분까지 중고등수학 전반에서 활용되는 매우 중요한 개념입니다.

기초부터 아주 쉽게  설명할 예정이니, 철저히 이해하고 응용력을 키워 두기 바랍니다.

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[ A ]  y = ± x² 의 그래프

일반적으로, y 가 x² 에 비례한다고 하면,  y 는 x² 의 실수배가 되니까, 식으로는

y = ax² 으로 표현합니다.

그러면 a 가 ± 1 일 때, 즉,  y = x² 과 y = – x² 의 그래프는 어떻게 그릴까요?

앞의 일차함수에서 해봤던 것처럼, x 값에 따라 정해지는 y 값들을 표로 만들어 보면,

(x, y) 의 순서쌍들을 구해서, 좌표평면에 그려낼 수 있겠지요?

x	– 3	– 2	– 1	0	1	2	3
y = x2	9	4	1	0	1	4	9
y = – x2	– 9	– 4	– 1	0	– 1	– 4	– 9

(x, y) 순서쌍들을 좌표평면에 나타내니까, 아래의 그림처럼 y = x² 의 그래프는 파란색

포물선이 되고, y = – x² 의 그래프는 빨간색 포물선의 모양이 되지요?

위의 두 포물선은 y 축을 중심으로 좌우로 대칭의 모습입니다.

이러한 대칭의 중심이 되는 수직선을 포물선의 축이라 합니다.

위 그래프에서 보는 두 포물선의 축의 방정식은 모두 x = 0 이지요.

그리고, 축과 포물선의 교점을 꼭지점이라 부릅니다.

위 그림에서는 두 포물선의 꼭지점은 모두 (0, 0) 이 되지요?

또, y = x² 의 파란색 포물선은 아래로 볼록하다고 하고,

y = – x² 의 빨간색 포물선 그래프는 위로 볼록하다고 표현합니다.

마지막으로, 이번에 개정된 중학 표준교과에서는 빠졌지만, 중요한 개념이니까, 함수의 정의역과 치역에 대해서 알아볼까요?

함수 f (x) 가 실수값을 가지는 모든 x 의 집합을 정의역이라고 합니다.

즉, 함수가 정의되는 x 의 범위를 말하지요.

또한, 함수 f (x) 가 나타낼 수 있는 모든 실수값의 집합을 치역이라고 합니다.

다른 표현으로 함수값(y 값)의 범위를 말합니다.

앞의 순서쌍을 나타낸 표에서 본 것과 같이, 모든 실수값을 갖는 x 에 대하여, 함수값인 y 의 값은 두 포물선이 서로 다르지요?

정의역과 치역은 기본적으로, 집합기호로 나타냅니다.

정의역 = { x | x 는 모든 실수}에 대하여,

(1) y = x² 의 치역은 { y | y ≥ 0} 이고,

(2) y = – x² 의 치역은 { y | y ≤ 0} 라고 표현합니다.

[ B ]  y = ax² 의 그래프 

이번에는, a 값에 따라서, 포물선 그래프가 어떻게 변하는지 알아 볼까요?

앞에서 그려본, 아래로 볼록인 파란색 포물선 y = x² 의 그래프를 중심으로,

(1) a 가 1 보다 커지는 양수(+)일 때는, 점점  y 축에 붙는

     뾰족한 포물선이 되고,

(2) a 가 1 보다 작아지는 양수(+)일 때는, 점점  x 축에 붙는

     평평한 포물선이 되지요?

또, 위로 볼록인 빨간색 포물선 y = – x² 의 그래프를 중심으로,

(3) a 가 – 1 보다 작아지는 음수(–)일 때는 점점  y 축에 붙는

     뾰족한 포물선이 되고,

(4) a 가 – 1 보다 커지는 음수(–)일 때는, 점점  x 축에 붙는

     평평한 포물선이 되지요?

따라서, 두 경우를 합쳐서 표현한다면,

(6) | a | 가 1 보다 커질 때에는, 점점  y 축에 붙는 뾰족한 포물선이 되고,

(7) | a | 가 1 보다 작아질 때에는, 점점  x 축에 붙는 평평한 포물선이 된다고 정리할 수 있습니다. 

그러면, 확인 문제를 한번 풀어볼까요?

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아래 그림에서, 빨간색 실선으로 나타낸 포물선의 방정식이 y = – ax², 빨간색 점선의

 포물선은  y = ax² 이고, 파란색의 포물선은  y = kax² 이라고 할 때, 상수 k 값의 범위를

 구하여라.

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