이차함수(1) 이차함수의 그래프

이차함수의 그래프

quadratic function graphs

"포물선 그래프를 그려 볼까요?"

" Let's draw a quadratic function graph - a parabola "

이차함수의 그래프는 중 3 과정뿐만 아니라, 고등과정의 이차 방정식 및 미적분 등에 이르기까지, 중고등수학 전 과정에서 연계형 유형으로 다양하게 응용되는 가장 기본적인 개념입니다.

수학실력의 차이는, 함수와 그래프에서 비롯된다고 할 정도로 중요하니, 기초부터 확실하게 익혀 두기 바랍니다.

문과라 하더라도, 고등과정의 다항함수의 미적분까지 중고등수학 전반에서 활용되는 매우 중요한 개념입니다.

기초부터 아주 쉽게  설명할 예정이니, 철저히 이해하고 응용력을 키워 두기 바랍니다.

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[ A ]  y = ± x² 의 그래프

일반적으로, y 가 x² 에 비례한다고 하면,  y 는 x² 의 실수배가 되니까, 식으로는

y = ax² 으로 표현합니다.

그러면 a 가 ± 1 일 때, 즉,  y = x² 과 y = – x² 의 그래프는 어떻게 그릴까요?

앞의 일차함수에서 해봤던 것처럼, x 값에 따라 정해지는 y 값들을 표로 만들어 보면,

(x, y) 의 순서쌍들을 구해서, 좌표평면에 그려낼 수 있겠지요?

x	– 3	– 2	– 1	0	1	2	3
y = x2	9	4	1	0	1	4	9
y = – x2	– 9	– 4	– 1	0	– 1	– 4	– 9

(x, y) 순서쌍들을 좌표평면에 나타내니까, 아래의 그림처럼 y = x² 의 그래프는 파란색

포물선이 되고, y = – x² 의 그래프는 빨간색 포물선의 모양이 되지요?

위의 두 포물선은 y 축을 중심으로 좌우로 대칭의 모습입니다.

이러한 대칭의 중심이 되는 수직선을 포물선의 축이라 합니다.

위 그래프에서 보는 두 포물선의 축의 방정식은 모두 x = 0 이지요.

그리고, 축과 포물선의 교점을 꼭지점이라 부릅니다.

위 그림에서는 두 포물선의 꼭지점은 모두 (0, 0) 이 되지요?

또, y = x² 의 파란색 포물선은 아래로 볼록하다고 하고,

y = – x² 의 빨간색 포물선 그래프는 위로 볼록하다고 표현합니다.

마지막으로, 이번에 개정된 중학 표준교과에서는 빠졌지만, 중요한 개념이니까, 함수의 정의역과 치역에 대해서 알아볼까요?

함수 f (x) 가 실수값을 가지는 모든 x 의 집합을 정의역이라고 합니다.

즉, 함수가 정의되는 x 의 범위를 말하지요.

또한, 함수 f (x) 가 나타낼 수 있는 모든 실수값의 집합을 치역이라고 합니다.

다른 표현으로 함수값(y 값)의 범위를 말합니다.

앞의 순서쌍을 나타낸 표에서 본 것과 같이, 모든 실수값을 갖는 x 에 대하여, 함수값인 y 의 값은 두 포물선이 서로 다르지요?

정의역과 치역은 기본적으로, 집합기호로 나타냅니다.

정의역 = { x | x 는 모든 실수}에 대하여,

(1) y = x² 의 치역은 { y | y ≥ 0} 이고,

(2) y = – x² 의 치역은 { y | y ≤ 0} 라고 표현합니다.

[ B ]  y = ax² 의 그래프 

이번에는, a 값에 따라서, 포물선 그래프가 어떻게 변하는지 알아 볼까요?

앞에서 그려본, 아래로 볼록인 파란색 포물선 y = x² 의 그래프를 중심으로,

(1) a 가 1 보다 커지는 양수(+)일 때는, 점점  y 축에 붙는

     뾰족한 포물선이 되고,

(2) a 가 1 보다 작아지는 양수(+)일 때는, 점점  x 축에 붙는

     평평한 포물선이 되지요?

또, 위로 볼록인 빨간색 포물선 y = – x² 의 그래프를 중심으로,

(3) a 가 – 1 보다 작아지는 음수(–)일 때는 점점  y 축에 붙는

     뾰족한 포물선이 되고,

(4) a 가 – 1 보다 커지는 음수(–)일 때는, 점점  x 축에 붙는

     평평한 포물선이 되지요?

따라서, 두 경우를 합쳐서 표현한다면,

(6) | a | 가 1 보다 커질 때에는, 점점  y 축에 붙는 뾰족한 포물선이 되고,

(7) | a | 가 1 보다 작아질 때에는, 점점  x 축에 붙는 평평한 포물선이 된다고 정리할 수 있습니다. 

그러면, 확인 문제를 한번 풀어볼까요?

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아래 그림에서, 빨간색 실선으로 나타낸 포물선의 방정식이 y = – ax², 빨간색 점선의

 포물선은  y = ax² 이고, 파란색의 포물선은  y = kax² 이라고 할 때, 상수 k 값의 범위를

 구하여라.

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