인수분해(1) 인수분해

인수분해

factoring polynomials

"기본적인 인수분해 공식들도 외워두어야 해요"

" You should also memorize basic factoring formulas "

인수분해는 앞에서 공부한 다항식의 전개과정을 반대로 처리해서, 주어진 다항식을 곱셈만으로 연결된 단항식으로 역변환하는 것입니다.

이 단원에서는 정형화된 인수분해 공식 외에, 다양한 인수분해 기법들을 살펴볼 것입니다.

중고등수학에서 이차 이상의 방정식과 부등식 등을 해결하기 위하여는 이러한 기법들도 완벽하게 이해한 후, 잘 활용할 수 있도록 기억해 두어야 합니다.

초등수준에서 구구단을 외워 두어야 산수계산을 잘 할 수 있는 것과 마찬가지로, 중고등수학에서 방정식 등을 해결하기 위하여는 반드시 기초적인 인수분해 공식들을 외워 두어야만 합니다.

상위수준의 어려운 심화수학도 기본적인 원리를 기억해 두거나 기초적인 공식에 대한 암기에서 출발한다는 점을 명심하고, 반복적인 연습과 철저한 복습을 해두기 바랍니다.

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첫 번째는 주어진 다항식에서 공통인수를 찾는 방법입니다.

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  [ A ]  ax + ay + az = a(x + y + z)

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예를 들어, x³ – 2ax² – 4x + 8a 라는 4 개의 항으로 이루어진 삼차의 다항식은,

(1) x – 2a 라는 공통인수만 쉽게 찾아낸다면,

     즉시 인수분해를 할 수가 있지요.

(2)  x³ – 2ax² – 4x + 8a

       = (x – 2a)x² – 4(x – 2a)

       = (x – 2a) (x + 2) (x – 2)

따라서, x³ – 2ax² – 4x + 8a = 0 이라는 삼차방정식은,

 인수분해를 하면 (x – 2a) (x + 2) (x – 2) = 0 이니까,

 x = 2a  또는  x = 2  또는  x = – 2 이라고 풀 수 있는 것이지요.

위와 같이 인수분해를 할 수 있었기 때문에, [ A * B = 0 이면,  A = 0 또는 B = 0 ]

이라는 'Zero Product Property' 원리를 이용해서, 쉽게 해를 구할 수 있는 겁니다.

공통인수를 찾아내기 위하여는, 많은 문제 풀이를 통한 부단한 연습이 필요합니다.

두 번째로는, 최고차항의 계수가 1 이 아닌 이차 방정식을 인수분해하는 방법을 알아볼까요?

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 [ B ]  acx² + (ad + bc)x + bd = (ax + b) (cx + d)

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     3x²  +  7x   –   6  =   0

     1   ↖      ↗    3   =   9

     3   ↙      ↘   –2  =  –2

                                   7

(1) 위의 공식을 쉽게 적용하기 위해서는, 2차항의 계수와 상수항의 숫자를 잘 살펴보면

     되겠지요?


(2) 2차항의 계수는 a * c 로 이루어져 있고, 상수항의 숫자는 b * d 로
      이루어져 있으니까, 약수로 분해해 보면 알아낼 수 있겠지요?


(3) 따라서, 인수분해한 켤레의 쌍들을, 서로 크로스( Χ )로 곱해서
      일차항의 계수를 맞추어 내는 방법이지요.

     3x²  +  7x   –   6  =   0

     1   ↖      ↗    3   =   9

     3   ↙      ↘   –2  =  –2

                                   7

(4) 위에서 맞추어진 크로스 식을 그대로 옮겨 적으면,

       3x² + 7x – 6 = (x + 3) (3x – 2)

따라서, 3x² + 7x – 6 = 0 이라는 이차방정식은 인수분해를 하면,
(x + 3) (3x – 2) = 0 이니까,

 x = – 3  또는  x = 2/3 라고 풀 수 있겠지요?

인수분해가 되는 이차 방정식은 이 방법이 가장 간편하니, 많은 연습을 통해서 반드시 익혀 두기 바랍니다.

[ C ] 치환하는 방법

이번에는 공통인수가 식인 경우로, 이 때는 쉽게 암산이 되지 않는다면, 그 식을 A 라고 치환하는 기법입니다. 예를 들어 볼까요?

(x² + x – 6)² – 5(x – 2) (x + 3) + 6 = 0

위의 식에서 (x – 2) (x + 3) 또는 x² + x – 6 이 공통인수인 것이 잘 보이나요?

(1) 쉽게 암산이 되지 않는다면, 이 때는 x² + x – 6 = A 라고 치환하는

     것이 매우 편리합니다. 치환하면,

      (x² + x – 6)² – 5(x – 2) (x + 3) + 6 = 0

(2) A²  –  5A  +    6  =    0

      1   ↖    ↗  – 3  =  – 3

      1   ↙    ↘  – 2  =  – 2

                                – 5

(3) (A – 2) (A – 3) = 0

     (x² + x – 6 – 2) (x² + x – 6 – 3) = 0

  ∴  (x² + x – 8) (x² + x – 9) = 0

(4) 더 이상 인수분해가 되지 않으니까, 근의 공식을 이용하면,

     x = [ – 1 ± √{1² – 4*1*(– 8)}] / 2*1  또는  x = [ – 1 ± √{1² – 4*1*(– 9)}] / 2*1

     ∴  x = ( – 1 ± √33 ) / 2  또는  x = ( – 1 ± √37 ) / 2

[ D ] 복이차식

이번에는 3차항과 1차항이 없는, 복이차식 형태의 사차 방정식

x⁴ – 3x² + 1 = 0 을 풀어 볼까요?

(1) 먼저, 4차항을 a², 상수항을 b² 이라고 암산을 하거나 치환을 해놓고,

(2) 주어진 식을 (a + b)² 또는 (a – b)² 의 2가지로 변형시켜 봅니다.

       x⁴ – 3x² + 1 = (x² + 1)² – 5x²

       x⁴ – 3x² + 1 = (x² – 1)² – x²

(3) 위의 두 식 중에서,  A² – B² = (A + B) (A – B) 꼴에서 B 가 정수가
      되는 계수로 인수분해가 되게 하는 식으로 결정합니다.

      x⁴ – 3x² + 1 = (x² – 1)² – x²

                         = (x² + x + 1) (x² – x + 1) = 0

(4) 따라서, 근의 공식을 대입하면

     x = { – 1 ± √(1² – 4*1*1)} / 2*1  또는  x = [ 1 ± √{(– 1)² – 4*1*1)}] / 2*1

     ∴  x = ( – 1 ± √3i ) / 2  또는  x = ( 1 ± √3i ) / 2

[ E ] 낮은 차수의 문자에 관하여 내림차순으로 정리

인수분해의 기법 중 가장 기본적이면서도, 어려운 유형들을 해결할 수 있는 가장 중요한 방법입니다.

이번에는, 3차 방정식 x³ – (a – 2b)x² – 2a (a + b)x – 4a²b = 0 을 풀어 볼까요?

(1) 도무지 공통인수를 찾기가 쉽지 않지요? 이럴 때는 제일 먼저,

      가장 낮은 차수의 문자에 관하여 내림차순으로 정리하는 겁니다.

(2) 변수인 x 는 최고차수가 3차이고, 나머지 문자 중 a 는 최고차수가 2차,

      b 는 최고차수가 1차이지요?

(3) 따라서, 좌변의 식을 b 에 관한 내림차순으로 다시 정리합니다.

      x³ – (a – 2b)x² – 2a (a + b)x – 4a²b = 0

      2(x² – ax – 2a²)b + x(x² – ax – 2a²) = 0 

(4) 이제 좌변을 인수분해 하면,

      2(x² – ax – 2a²)b + x(x² – ax – 2a²) = 0

      (2b + x) (x²  –  ax  –  2a²) = 0

                   1   ↖    ↗    1   =   1

                   1   ↙    ↘  – 2   =  – 2

                                              – 1

 ∴  (x + 2b) (x + a) (x – 2a) = 0

(5) 따라서, x = – 2b  또는  x = – a  또는  x = 2a

이차함수(2) 이차함수의 그래프(2)

이차함수의 그래프(2)

quadratic function graphs

"포물선 그래프는 물리학, 공학

경제학, 경영학 등 다양한 분야에서 활용돼요"

" The graph of parabola is used in various field

such as physics, engineering, economics and bysiness "

이차함수의 그래프는 중 3 과정뿐만 아니라, 고등과정의 이차 방정식 및 미적분 등에 이르기까지, 중 고등수학 전 과정에서 연계형 유형으로 다양하게 응용되는 가장 기본적인 개념입니다.

수학실력의 차이는, 함수와 그래프에서 비롯된다고 할 정도로 중요하니, 기초부터 확실하게 익혀 두기 바랍니다.

이 단원에서도, 아주 쉽게 기초부터 친절하게 설명할 예정이니, 철저히 이해하고 응용력을 키워 두어야 합니다.

다시 강조하지만, 문과라 하더라도, 고등과정의 다항함수의 미적분까지 중고등수학 전반에서 활용되는 매우 중요한 개념입니다.

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앞에서 배운, 이차함수의 그래프인 포물선, y = ax² 을 잘 기억하고 있지요?

이번에는, 이 포물선을 [그래프의 평행이동]과 관련 지어서, 자세히 살펴보도록 하지요.

우선, 지난 2 월에 배웠던 [함수 그래프의 평행이동]을 다시 복습해 볼까요? 설명했던, 청개구리 성질이 기억 나나요?

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  y = f (x) 라는 함수의 그래프가 주어졌을 때,

 (1) x 대신에 x – α 를 대입한  y = f (x – α) 의 그래프는

       y = f (x)의 그래프를 오른쪽으로 α 만큼 평행이동

 (2) y 대신에 y – β 를 대입한 y – β = f (x)

      즉,  y = f (x) + β 의 그래프는 y = f (x) 의 그래프를

      위쪽으로 β 만큼 평행이동

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[ A ]  y = a (x – α)² 의 그래프

예를 들어, (1) y = 2(x – 2)²  과  (2) y = 2(x + 3)² 의 그래프는 어떻게 그릴까요?

앞에서 복습한, [함수 그래프의 평행이동]의 성질을 이용하면 아주 쉽게 그릴 수 있습니다.

최초의 포물선 그래프를 y = 2x² 이라고 놓으면,

(1) y = 2(x – 2)² 는 원래의 함수 식에서, x 대신에 x – 2 를 대입한 것이므로,

아래 그림에서의 파란색 포물선과 같이 오른쪽으로 2 만큼 평행이동한 것이겠지요?

(2) 똑같은 평행이동의  원리로, y = 2(x + 3)² 는 원래의 함수 식에서 x 대신에 x + 3 을 대입한 것이므로, 위 그림에서의 빨간색 포물선과 같이 왼쪽으로 3 만큼 평행이동한

따라서 포물선 축이 x = – 3 이 되겠지요?

[ B ]  y = ax² + β 의 그래프

이번에는, (1) y = – x² – 1  과  (2) y = – x² + 2 의 그래프도, [함수 그래프의 평행이동]의 성질을 이용해서, 쉽게 그릴 수 있습니다.

최초의 포물선 그래프를 y = – x² 이라고 놓으면,

(1) y = – x² – 1 은 원래의 함수 식에서, y 대신에 y + 1 을 대입한 것이므로, 아래 그림에서의 빨간색 포물선과 같이 아래쪽으로 1 만큼 평행이동한 것이겠지요?

(2) 또,  y = – x² + 2 는 y – 2 = – x² + 2. 즉, 원래의 함수 식에서, y 대신에 y – 2 를 대입한것이므로, 위 그림에서의 파란색 포물선과 같이 위쪽으로 2 만큼 평행이동한 것이겠지요?

[ C ]  y = a (x – α)² + β 의 그래프

이제, 앞에서 배운 것을 종합하면, 위 함수식의 그래프는 아주 쉽게 그릴 수 있겠지요? 최초의 포물선을 y = ax² 이라고 놓고, [함수 그래프의 평행이동]의 성질을 이용하면 됩니다. 

최초의 포물선 함수식 y = ax² 에서, x 대신에 x – α 를 대입하고 그리고 동시에( ∩ )

 y 대신에 y – β 를 대입한 그래프이므로, y = ax² 의 포물선 그래프를 오른쪽으로 α 만큼

 평행이동 그리고 동시에( ∩ ) 위쪽으로 β 만큼 평행이동한 것이지요.

(1) 따라서, 포물선의 축은 x = 0 에서 x = α 로 바뀌게 되고

(2) 포물선의 꼭지점은 (0, 0) 에서 (α, β) 로 바뀌게 됩니다.

[ D ]  y = ax² + bx + c 의 그래프

이제, 일반적인 y = ax² + bx + c 로 주어지는 이차함수의 그래프는, 위에서 공부한 대로  y = a (x – α)² + β 의 꼴로 바꾸기만 하면, 최초의 포물선을 y = ax² 이라고 놓고,

[함수 그래프의 평행이동]의 성질을 이용해서, 아주 쉽게 그릴 수 있겠지요?

구체적으로 예를 들어서, y = 2x² – 12x + 19 의 그래프를 그려 볼까요?

(1) 우선, 함수 식을 y = a (x – α)² + β 의 완전제곱의 꼴로 고쳐야,

      [함수 그래프의 평행이동]의 성질을 이용할 수가 있겠지요?

   y = 2x² – 12x + 19

= 2(x – 3)² + 1

y – 1 = 2(x – 3)² 

(2) 최초의 함수식 y = 2x² 에서, x 대신에 x – 3 그리고 동시에( ∩ )

       y 대신에  y – 1 를 대입한 것이라고 볼 수 있으므로,

      아래 그림과 같이 꼭지점 (0, 0) 에서 (3, 1) 로 평행 이동한

      빨간색 포물선이 됩니다.

문자를 써서, 이 내용을 일반화시켜 볼까요?

(1) 우선, 함수식 y = ax² + bx + c 을  y = a (x – α)² + β 의 완전제곱의 꼴로 고쳐야 하겠지요?

  y = ax² + bx + c

            = a{x² + (b/a)x} + c

            = a{x² + (b/a)x + (b/2a)²} + ⋯

            = a{x + (b/2a)}² + β

(2) 따라서, 최초의 함수식인 y = ax² 에서, x 대신에 x + b/2a 그리고 동시에( ∩ ) y 대신에

    y – β 를 대입한 것이니까, 꼭지점 (0, 0)에서 (– b/2a,  β)로 평행이동한 포물선이 됩니다.

참고로, 문자로 일반화 했을 때에는, 축의 방정식 x = – b/2a 또는 꼭지점의 x 좌표만을 기억해 두는 것이 좋습니다.

꼭지점의 y 좌표까지 공식으로 외우는 것은 불필요한 시간과 노력의 낭비일 뿐이며, 숫자로 주어진 경우에만 대입, 계산하여 필요한 답을 구하면 됩니다.