약수와 배수(2) 배수 판별법

배수 판별법

divisibility rules

"계산력 향상과 수개념 발달에 꼭 필요해요"

" essential tools for enhancing computational efficiency

& building number sense "

배수 판별법은 어떤 수가, 간단한 자연수의 배수가 되는지 여부를 알아 내는 방법입니다.

주어진 수가 어떤 수의 배수인지를 알아 낸다면, 숫자가 주어지는 계산에서 인수 또는 약수를 찾기가 쉬워서, 간단히 공약수로 묶거나, 약분으로 쉽게 답을 구할 수가 있습니다.

배수 판별법을 이용하면, 쉽고 편리하게 암산도 할 수 있고, 어려운 숫자계산도 빠르고 정확하게 해 낼 수가 있습니다. 계산능력만 우수해도, 중고등 수학이 훨씬 쉬워지고 실수를 크게 줄일 수 있지요.

뿐만 아니라, 배수를 판별하는 원리와 개념을 정확하게 이해해 두면, 배수를 응용하는 어려운 심화문제도 충분히 해결해 낼 수가 있습니다.

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[ A ] 10의 약수와 배수를 이용하는 방법

18456은 2의 배수라는 것을 쉽게 알 수 있지요?

일의 자리의 숫자가 짝수라는 사실만 가지고 어떻게 빨리 알아낼 수 있는 것일까요? 어떤 원리가 숨어 있는 것인지 알아 볼까요?

(1) 18456 = 1845 * 10 + 6 인데, 10의 배수는 항상 2의 배수이니까,

(2) 1845 *10은 당연히 2의 배수이고, 나머지 일의 자리수인 6만 2의 배수이면,

(3) 원래의 수 18456은 2의 배수가 되겠지요?

그러면, 18456은 4의 배수도 될까요?

같은 원리로, 10² = 100은 항상 4의 배수라는 것을 이용하면 됩니다.

(1) 18456 = 184 * 100 + 56인데, 100의 배수는 항상 4의 배수이니까,

(2) 184 * 100은 당연히 4의 배수이고, 나머지 56만 4의 배수이면,

(3) 원래의 수 18456은 4의 배수가 되겠지요?

이번에도 같은 원리를 계속 확장시켜 볼까요? 그러면, 18456은 8의 배수도 될까요?

(1) 10³ = 1000은 항상 8의 배수라는 것을 이용하면,

(2) 18456 = 18 * 1000 + 456인데, 1000의 배수는 항상 8의 배수니까,

(3) 18 * 1000은 당연히 8의 배수이고, 나머지 456만 8의 배수이면

(4) 원래의 수 18456은 8의 배수가 되겠지요?

이번에는, 이 원리를 약간 변형시켜서 살펴보도록 할까요?

(1) 10을 소인수로 분해하면, 10 = 2 * 5.

(2) 따라서, 10은 당연히 2의 배수일 뿐만 아니라, 5의 배수이기도 하니까,

(3) 이 원리를 응용하면, 73915는 5의 배수라는 것을 쉽게 알 수 있겠지요?

(4) 또, 소인수로 분해하면, 10³ = 2³ * 5³

(5) 따라서, 1000은 당연히 8의 배수일 뿐만 아니라, 125의 배수이기도 하니까,

(6) 이 원리를 응용하면,  93754278125는 125의 배수라는 것도 쉽게 알 수 있습니다.

[ B ] 각 자리수의 합을 이용하는 방법

21381은 3의 배수일까요? 어떤 원리로 쉽게 알아낼 수 있을까요?

10 = 3² + 1 = 9 + 1,

100 = 3² * 11 + 1 = 99 + 1,

1000 = 3² * 111 + 1 = 999 + 1, ⋯ 

이 원리를 활용하면 아주 쉽고 재미있게 알아낼 수 있습니다.

한번 볼까요?

24381 = 2 * (9999 + 1) + 4 * (999 + 1)

             + 3 * (99 + 1) + 8 * (9 + 1) + 1

(1) 2 * 9999 + 4 * 999 + 3 * 99 + 8 * 9 는 9 (= 3²) 의 배수이니까,

(2) 나머지 2 + 4 + 3 + 8 + 1만 3의 배수라면,

(3) 전체 숫자가 3의 배수가 되겠지요?

이 원리가 이해되었다면, 21381은 9의 배수인지 아닌지를, 금방 알아낼 수 있겠지요?

아래의 확인 문제를 스스로 풀어 보기 바랍니다.

[ C ] 교집합의 개념을 이용하는 방법

4728 은 6 의 배수일까요?

이번에는 6 = 2 * 3 이니까, 6 의 배수는 [2의 배수 그리고(∩) 3의 배수]라는 교집합의 원리를 이용합니다.

(1) 4728 의 일의 자리수가 짝수이고,

(2) 4 + 7 + 2 + 8 = 21.  즉,  3 의 배수이니까,

(3) 위의 두 조건을 동시에(∩) 만족하니까, 6 의 배수가 맞지요?

그러면, 4728은 12 의 배수일까요?

앞에서 설명한 원리를 이용해서, 주관식 서술형으로 그 풀이과정과 답을 스스로 풀어 보기 바랍니다.

그러면 배운 내용을 표로 정리해 볼까요?

	판     별     법
2의 배수	일의 자리수가 2의 배수
3의 배수	각 자리수의 합이 3의 배수
4의 배수	끝의 두 자리수가 4의 배수
5의 배수	일의 자리수가 5의 배수
6의 배수	짝수이고 동시에(∩) 3의 배수
7의 배수	밑의 설명 참조
8의 배수	끝의 세 자리수가 8의 배수
9의 배수	각 자리수의 합이 9의 배수

이 외의 방법들은 원리가 다소 복잡하고, 공식이라 하기에는 활용도가 낮으니, 참고로만 알아 두기 바랍니다.

[ D ] 기타의 방법 ( 1001 = 7 Χ 11 Χ 13을 이용 )

예를 들어 123123이라는 숫자를 한번 볼까요? 마치 순환소수가 반복되는 것과 같은 구조이지요?

(1) 123123 = 1001 Χ 100 Χ 1 + 1001 Χ 10 Χ 2 + 1001 Χ 3

(2) 따라서, 전체 숫자가 1001의 배수로 표현되니까,

(3) 123123은 7 또는 11 또는 13의 배수.

[ E ] Pohlman-Mass 판별법

이번에는, 16352는 7의 배수인지, Pohlman-Mass 판별법을 추가로 이용하는 방법에 대해서 알아 볼까요?

이 방법은 만일, ab 즉, 10a + b 가 7의 배수라면, a – 2b 도 7의 배수가 된다는 성질을 이용하는 것입니다.

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 10 a + b = 7k 라 놓으면,

 (a – 2b) Χ 10 = 10 a + b – 21b = 7k – 7 Χ 3b가 되므로,

 (a – 2b) Χ 10은 7의 배수.

 그런데, 10과 7은 서로 소이므로, a – 2b는 7의 배수.

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(1) 16352에 대하여, Pohlman-Mass 판별법을 그대로 적용한다면,
      1635 – 2 Χ 2 = 1631
       163 – 2 Χ 1 = 161
       16 – 2 Χ 1 = 14는 7의 배수



이번에는, 조금 더 영리하게 [ D ] 와 [ E ] 방법을 종합해서, 활용해 볼까요? 


(2) 16352에서 7의 배수가 되는 1001의 배수인, 16016을 우선 빼주고 나서,

(3) 남는 1000 이하의 숫자에 대해서만, Pohlman-Mass 판별법을 적용해 볼까요?

       16352 – 16016 = 336

(4) 이제, 7 의 배수를 빼주고 남은 숫자 336 은 33 – 2 Χ 6 = 21 이 되므로,

      Pohlman-Mass 판별법으로 7 의 배수
   
(5) 따라서, 원래의 수인 16352 = 16016 + 336 은 7 의 배수 + 7 의 배수이므로,

      16352 는 7 의 배수입니다.

그러면 기본개념을 이해했는지 확인해 보기 위해서,

다음 문제들을 한번 풀어 볼까요?

  

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 21381 은 9 의 배수일까요?

 주관식 서술형으로 풀이과정을 상세히 쓰세요.

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 484728 은 24 의 배수일까요?

 주관식 서술형으로 풀이과정을 상세히 쓰세요.

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약수와 배수(1) 인수, 약수와 배수

약수와 배수

factors and multiples

"소수를 알면

숫자가 쉽게 보여요"

" having learned prime factors,

any integer looks easy "

정수범위 내에서, 소수 (prime number) 는 더 이상 나누어지지 않는 기초단위라서, 숫자를 이해하는 데 아주 편리합니다.

정수를 소수들의 곱으로 분해해 보면, 숫자들 사이에 공통적인 요소를 쉽게 알아낼 수 있어, 공약수나 공배수를 찾아 내서 영리한 계산을 하는 데에도 큰 도움이 되지요.

2 나 3 과 같은 소인수를 문자라고 간주하면, 숫자도 문자들의 곱으로 이루어진 식으로 생각하고 처리할 수 있어서, 일반적인 원리나 공식을 유도해 내거나 응용력을 향상시킬 수 있습니다.

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예를 들어 14 를 3 으로 나누면 몫이 4 이고 나머지가 2 라고 할 때, 초등 산수에서는 14 ÷ 3 = 4 ⋯ 2 와 같은 표현을 쓰지만, 중학수학부터는 반드시 14 = 3 * 4 + 2 라는 하나의 식으로 나타낼 줄 알아야 합니다.

이 내용을 문자로 일반화시켜 볼까요?

문자나 수학기호만 나오면 멀미(^^)가 난다구요?

처음에는 어렵겠지만, 조금씩 익숙해지면, ‘어쩌면 이렇게 간단하면서도 논리적으로 정교한 언어가 만들어 졌을까’ 하고 경탄하게 될 겁니다. 진정한 수학의 재미는 기호와 문자를 이용한 일반화에 있으니까요.

위에서 예를 들었던 나눗셈을 문자로 일반화시킨다면, 'A 를 0 이 아닌 B 로 나누면, 몫이 Q(quotient)이고, 나머지가 R(remainder)이다' 라고 하고, 식으로는 A = B * Q + R 로 나타낼 수 있습니다. 

이번에는 나누어 떨어지는 경우를 생각해 볼까요?

나누어 떨어진다면, 나머지가 없겠지요?

즉, 문자로 나타내면 R = 0 이니까, 식으로는 A = B x Q 라고 표현할 수 있겠지요?

이렇게 나머지가 없이 나누어 떨어질 때, A 는 B 와 Q 의 곱이니까, A 는 B 또는Q 의 배수라고 합니다. 또, B 와 Q 는 A 의 약수 또는 인수라고 합니다. 

특히, 중학 수학부터는 A, B, Q 가 모두 정수인 경우로 확장됩니다.

예를 들자면, 6 = 2 * 3 = 1 * 6 = (– 2) * (– 3) = (– 1) * (– 6) 이 성립하니까,

1, 2, 3, 6, – 1, – 2, – 3, – 6 은 모두 6 의 약수가 됩니다.

또, – 3 의 경우도 – 3 = 1 x (– 3) = 3 x (– 1) 이 성립하니까,

1, 3, – 1, – 3, 은 모두 – 3 의 약수가 되지요. 

(1) 짝수와 홀수

예를 들어, A = 2Q 라고 표현하면 A가 2 의 배수 즉, 짝수라는 것을 나타내고, A = 2Q – 1 인 경우는 홀수를 나타내는 것입니다.

마찬가지로, 중학 수학부터는 A, Q 가 모두 정수인 경우로 확장되니까, Q 가 0 이거나 음수(–) 인 경우도 포함되므로, 2, 4, 6 ⋯ 만이 아니라, 0, – 2, – 4, – 6 ⋯ 도 짝수라는 점에 주의해야 합니다. 

(2) 소수와 합성수

'소수' 는 1 과 자기자신 이외에는 약수를 갖지 않는, 1 보다 큰 자연수(* 정수가 아니라는 점에 주의) 를 말합니다. 이 소수들은 '합성수' 를 분해해서 보거나, 두 개 이상의 합성수들 사이에서 공통되는 인수를 알아내는 데 아주 유용합니다. 

'합성수' 는 '1 과 자기자신 이외에, 적어도 하나 이상의 다른 양(+) 의 약수를 갖는, 1 보다 큰 자연수' 라고 정의하니까, '1 보다 큰 자연수 중에서 소수가 아닌 수' 라고 말하기도 합니다. 

따라서 자연수는 '1' 과 '소수들' 과 '합성수들' 의 3 가지로만 이루어져 있다고 할 수 있겠지요? 

예를 들어, 90 과 132 는 어떤 공통점을 가지고 있을까요?

90 과 132 를 소수로 분해해 보면 되겠지요? 소인수로 분해하면, 서로 2 와 3 이라는 공통점 즉, 이라는 공통인수(공약수)를 가집니다. 

90 = 2 x 3 x 3 x 5 = 2 x 3² x 5

132 = 2 x 2 x 3 x 11 = 2² x 3 x 11

여기서, (1) 교집합의 개념을 이용해서, 90 그리고(∩) 132 가 동시에 갖고 있는 약수 중에서 가장 큰 것인, 2 x 3 = 6 을 최대공약수(G),

(2) 합집합의 개념을 이용해, 90 또는(∪) 132 를 포함할 수 있는 배수 중에서 가장 작은 것인 2² x 3² x 5 x 11 = 1980 을 최소공배수(L) 라고 하고,

기호로는 G (90, 132) = 6 과 L (90,132) = 1980 와 같이 사용합니다. 

모든 정수를 이렇게 소수로 분해 (소인수분해) 하고 나면, 여러 개의 수 사이의 공약수나 공배수를 찾기가 쉬워서, 공통인수로 약분을 하거나 분배법칙으로 묶어서 계산할 때, 아주 편리합니다. 

예를 들어 계산문제를 한 번 볼까요?

2 나 3 과 같은 소인수를 문자라고 간주하고, 숫자도 문자들의 곱으로 이루어진 식으로 생각해 보세요. 공통인수로 묶거나 약분으로 정리가 모두 끝난 다음, 마지막에만 간단히 계산하면 모든 문제가 너무 쉽고 간편해 지지요.

132 ÷ 18 x 5 – 90 x 11 ÷ 36

= (2 * 2 * 3 * 11) ÷ (2 * 3 * 3) * 5 – (2 * 3 * 3 * 5) * 11 ÷ (2 * 2 * 3 * 3)

= (2 * 2 * 3 * 11 * 5) / (2 * 3 * 3) – (2 * 3 * 3 * 5 * 11) / (2 * 2 * 3 * 3)

약분해 주면

= (2 * 11 * 5) / 3 – (5 * 11) / 2

공통인수를 묶어주면

= 5 * 11 * (2/3 – 1/2)

최소공배수(L)로 분모를 통분하면

= 5 * 11 * (4/6 – 3/6)

= 5 * 11 * 1/6

= 55/6

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