제곱근(3) 제곱근의 덧셈과 뺄셈 (1)

제곱근의 덧셈과 뺄셈(1)

square root arithmetic

"계산력이 튼튼해야 뼈아픈 실수를 줄일 수 있어요"

" basic calculation skills are essential

to avoid stupid math mistakes "

제곱근 식의 계산은 루트기호 안의 제곱수를 찾아내는 암산능력을 필요로 하므로, 중학시절에 반드시 갖추어 두어야 할 기본적인 계산연습의 대표적인 단원입니다.

제곱수를 쉽고 빠르게 찾아 내기 위하여는 부분적인 소인수분해를 암산으로 해내는 능력을 키워야 하기 때문에 부단한 연습과 노력도 필요합니다.

최근 들어 쉬워진 수능과 내신의 환경에서는 사소한 계산 실수 하나가 너무나 뼈아픈 결과를 초래하고 있는 것이 현실입니다. 중학시절부터 계산력 만은 반드시 확실하게 다져 놓기를 바랍니다.

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√2 + √3 = √5 라고 생각하는 학생들이 의외로 많습니다만, 과연 그럴까요? 앞의 제곱근의 곱셈에서 공부했던 대로, 한번 제곱한 값을 비교해 보면 어떨까요?


제곱근을 처음 배우는 학생들이 자주 저지르는 실수입니다만, 곱셈공식으로 전개해 보면 쉽게 알아볼 수 있습니다.

다시 한 번 '양수(+) A, B 에 대하여 A = B 와 A² = B² 은 서로 동치' 라는 사실을 이용해서 확인하면 되겠지요?

(√2 + √3)²

= (√2 + √3) * (√2 + √3)

= √2  * (√2 + √3) + √3 * (√2 + √3)

= (√2)² + √2 * √3 + √3 * √2 + (√3)²

= 2 + √6+ √6 + 3

= 5 + 2√6  ≠  5

∴  √2 + √3 ≠ √5

[ 1 ] 제곱근 식에서는 예를 들어, 같은 종류인 √2 끼리 또는 √3 끼리만 덧셈과 뺄셈이 가능합니다. 따라서 루트기호 안의 수를 우선 간단하게 정리한 다음에 동일한 제곱근을 가진 동류항을 찾아내야 합니다.

그러면 다음의 제곱근 식에서는 어떤 항이 서로 덧셈과 뺄셈의 가능한 동류항일까요?

√18 – √12 + √2 + 4√3

(1) 루트기호 안의 수를 우선 간단하게 정리해 보면

√18 = √(3 * 3 * 2) = 3√2

√12 = √(2 * 2 * 3) = 2√3

(2) 이제 동류항끼리만 더하거나 뺄 수 있으므로

∴  √ 18  – √ 12  + √ 2  + 4√ 3 

= 3√ 2  – 2√ 3  + √ 2  + 4√ 3 

  

(3) √ 2  또는 √ 3  과 같은 제곱근은 변수인 것으로, 또 루트기호 앞의 유리수들은 계수인 것과 같이 간주해서 분배법칙으로 묶어 계산하면 됩니다.

∴   = (3 + 1) x √ 2  + (4 – 2) x √ 3 

= 4√ 2  + 2√ 3 

[ 2 ] 이번에는 곱셈과 덧셈 및 뺄셈이 섞여 있는 계산의 예를 보도록 할까요?

4√ 2  x √ 27  + √ 18  x 6√ 3  – √ 20 

(1) 이번에도 루트기호 안의 수를 우선 간단하게 정리한 다음에, 루트기호 앞의 유리수들은 계수인 것과 같이 간주하여 유리수끼리, 루트기호를 가진 무리수는 무리수끼리 따로 묶어서 계산합니다.

(a)  4√ 2  x √ 27 

= 4√ 2  x 3√ 3 

= (4 x 3) x (√ 2  x √ 3 )

= 12√ 6 

(b)  √ 18  x 6√ 3 

= 3√ 2  x 6√ 3 

= (3 x 6) x (√ 2  x √ 3 )

= 18√ 6 

(2) 이제 동일한 제곱근을 가진 동류항을 찾아내서 덧셈과 뺄셈만 간단하게 정리하면 됩니다.

4√ 2  x √ 27  + √ 18  x 6√ 3  – √ 20 

= 12√ 6  + 18√ 6  – 2√ 5 

∴   = 30√ 6  – 2√ 5 

[ 3 ] 마지막으로 나눗셈과 덧셈 및 뺄셈이 섞여 있는 제곱근 식의 계산 문제도 풀어 보도록 할까요?

4√ 54  ÷ 6√ 3  + √ 32  – 6√ 10  ÷ √ 20 

(1) 나눗셈에서도 루트기호 안의 수를 우선 간단하게 정리한 다음에, 루트기호 앞의 유리수들은 계수인 것과 같이 간주하여 유리수끼리, 루트기호를 가진 무리수는 무리수끼리 따로 묶어서 계산하면 됩니다.

(a)  4√ 54  ÷ 6√ 3 

= 12√ 6  ÷ 6√ 3 

= (12 ÷ 6) x (√ 6  ÷ √ 3 )

= 2√ 2 

(b)  6√ 10  ÷ √ 20 

= 6√ 10  ÷ 2√ 5 

= (6 ÷ 2) x (√ 10  ÷ √ 5 )

= 3√ 2 

(2) 마지막으로 동일한 제곱근을 가진 동류항을 찾아내어 덧셈과 뺄셈만 간단하게 정리하면

4√ 54  ÷ 6√ 3  + √ 32  – 6√ 10  ÷ √ 20 

= (4√ 54  ÷ 6√ 3 ) + √ 32  – (6√ 10  ÷ √ 20 )

= 2√ 2  + 4√ 2  – 3√ 2 

∴   = 3√ 2 

[ 4 ] 자 그럼, 배운 것을 공식으로 정리해 볼까요?

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양(+) 의 실수 A, B 와 유리수 m, n 에 대하여,

(1) m√ A  + m√ A  = (m + n)√ A 

(2) m√ A  x n√ B  = (m x n) x √ A x B  =mn√ AB 

(3) m√ A  ÷ n√ B  = (m/n) * √ A / B 

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일차부등식(7) 절대값 일차부등식(2)

절대값 일차부등식(2)

absolute value linear inequalities

"그래프를 활용하니까 절대값부등식도

이해가 너무 쉽고 잘 외워져요"

" function graph makes it easier

to solve absolute value inequalities "

기본형이 아닌 절대값 부등식은, 절대값 안의 값이 양 (+) 인지 음 (–) 인지에 따라, 경우를 나누어 계산하는 것이 원칙입니다.

따라서, 반드시 구간을 나누어 생각해야 하고, 각각의 구간별 풀이는 교집합 (∩) 과 합집합 (∪) 을 논리적으로 정확하게 적용해야 하는 사고력 훈련의 대표적인 유형입니다.

물론, 이 경우에도 그래프를 이용해서 쉽게 문제를 해결할 수 있습니다. 특히, 이 그래프를 이용하는 방법은 이차 또는 고차부등식에서 그대로 활용할 수 있는 개념이므로, 해결과정을 확실하게 이해해 두어야 합니다.

이 단원 역시 매우 중요한 내용이므로, 반드시 기본개념과 응용력을 철저히 익혀두시기 바랍니다.

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절대값이 여러 개가 포함되거나 숫자가 아닌 식이 포함된 절대값 부등식은, 앞에서 배운 기본형과는 달리, 절대값 안의 값의 부호가 바뀌는 값을 기준으로, 구간들을 나누어서 푸는 것이 원칙입니다.

우선, 보기 문제를 풀어 볼까요?

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아래의 절대값 부등식을 풀어라.

| x – 2 | < (1/2)x + 1

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(1) 우변이 숫자만 있는 기본형이 아니고, 식이 들어 있으니까, 절대값 안의 부호가 바뀌는 2 를 기준으로, 두 가지의 경우로 나누어 풀어야 합니다.

(A)  x < 2 일 때	(B)  x ≥ 2 일 때
– x + 2 < (1/2)x + 1 ∴  x > 2/3	x – 2 < (1/2)x + 1 ∴  x < 6

(2) 앞의 [절대값 일차방정식] 단원에서 배웠던, 논리 다이어그램으로 보면서,

(A ∩ P) ∪ (B ∩ Q) 의 개념을 이용합니다.

다시 복습이 필요한 분은 아래의 링크를 참고하세요.

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( 2/3 < x < 2) ∪ (2 ≤ x < 6)

∴   2/3 < x < 6

이번에는 똑같은 문제를 그래프를 이용해서 풀어 보도록 할까요?

(1) 부등식 | x – 2 | < (1/2)x + 1 의 좌변과 우변을 각각의 함수로 간주해서 아래와 같이 좌표평면에 두 그래프를 함께 나타냅니다.

y = f (x) = | x – 2 |     vs.    y = g (x) = (1/2)x + 1

(2) 위의 그래프를 보고, 파란색의 직선인 y = f (x) = | x – 2 | 가 빨간색의 직선인 y = g (x) = (1/2)x + 1 보다 작다고 했으니까, 위 그래프에 있는 노란색의 영역을 찾아냅니다.

(3) 노란색 영역의 왼쪽 x 값은 파란색의 감소하는 직선인 y = – x + 2 와 빨간색의 증가하는 직선인 y = (1/2)x + 1 와의 교점이니까, 두 식을 연립으로 풀면

 – x + 2 = (1/2)x + 1

∴  x = 2/3

(4) 노란색 영역의 오른쪽 x 값은 파란색의 증가하는 직선인 y = x – 2 와 빨간색의 증가하는 직선인 y = (1/2)x + 1 와의 교점이니까, 두 식을 연립으로 풀면

 x – 2 = (1/2)x + 1

∴  x = 6

(5) x 에 관한 부등식을 푸는 것이니까, 부등식의 영역도 x 값을 기준으로 좌표평면에 표시하도록 합니다. x = 2/3 와 x = 6 인 양 끝 경계선은 포함되지 않는다는 점에 주의하세요.

∴  2/3 < x < 6

이번에는 절대값이 두 개인 문제를 풀어 보도록 할까요?

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아래의 절대값 부등식을 풀어라.

| x + 2 | – | x – 1 | ≥ 0

---

(1) 절대값이 두 개가 들어 있으니까, 절대값 안의 부호가 바뀌는  – 2 와 1 을 기준으로, 3 가지의 경우로 나누어 풀어야 하겠지요?

(A)  x < – 2일 때	(B) – 2 ≤ x < 1 일 때	(C)  x ≥ 1 일 때
–x – 2 +x – 1≥0 이는 모순 ∴  Ø	x + 2 + x – 1 ≥ 0 ∴  x ≥ – 1/2	x + 2 – x +1 ≥ 0 항상 참 ∴ x 는 모든 실수

(2) 앞의 [절대값 일차방정식] 단원에서 배웠던, 논리 다이어그램으로 보면,

 (A∩P) ∪ (B∩Q) ∪ (C∩R) 의 개념입니다.

( Ø ) ∪ ( – 1/2 ≤ x < 1 ) ∪ ( 1 ≤ x )

∴  x ≥ – 1/2

이번에도 똑같은 문제를 그래프를 이용해서 다시 풀어 보도록 할까요?

(1) 그리기 쉽도록, 부등식을 | x + 2 | ≥ | x – 1 | 로 바꾼 다음, 좌변과 우변을 각각의 함수로 간주해서 아래와 같이 좌표평면에 그래프로 나타냅니다.

y = f (x) = | x + 2 |    vs.    y = g (x) = | x – 1 |

  

(2) 위의 그래프를 보고, 파란색의 꺽은선인 y = f (x) = | x + 2 | 가 빨간색의 꺽은선인 y = g (x) = | x – 1 | 보다 크거나 같다고 했으니까, 위 그림에 있는 노란색의 영역을 찾아 냅니다.

(3) 노란색 영역의 왼쪽 x 값은 파란색의 증가하는 직선인 y = x + 2 와 빨간색의 감소하는 직선인 y = – x + 1 과의 교점이니까, 두 식을 연립으로 풀면

 x + 2 = – x + 1

∴  x = – 1/2

(4) x 에 관한 부등식을 푸는 것이니까, 부등식의 영역도 x 값을 기준으로 좌표평면에 표시하도록 합니다. x = – 1/2 인 경계선이 포함된다는 점에 주의하세요.

∴  x ≥ – 1/2

그래프를 그려내는 실력을 어느 정도 갖추게 되면, 주어진 방정식이나 부등식을 자기가 편리한 방법으로 좌변과 우변으로 나누어 변형한 다음, 쉽고 간단하게 그래프를 이용해서 문제를 해결해 낼 수 있습니다.

이 그래프를 이용하는 방법은 향후 고등수학이나 상위수학의 이차 또는 고차부등식 등에서 그대로 활용할 수 있는 개념이므로, 해결과정을 확실하게 이해해 두고, 방정식이나 부등식을 풀 때나 혹은 다른 방법으로 검산할 때 자주 활용해 봄으로써, 응용력을 키워 나가기 바랍니다.

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