제곱근(3) 제곱근의 덧셈과 뺄셈 (1)

제곱근의 덧셈과 뺄셈(1)

square root arithmetic

"계산력이 튼튼해야 뼈아픈 실수를 줄일 수 있어요"

" basic calculation skills are essential

to avoid stupid math mistakes "

제곱근 식의 계산은 루트기호 안의 제곱수를 찾아내는 암산능력을 필요로 하므로, 중학시절에 반드시 갖추어 두어야 할 기본적인 계산연습의 대표적인 단원입니다.

제곱수를 쉽고 빠르게 찾아 내기 위하여는 부분적인 소인수분해를 암산으로 해내는 능력을 키워야 하기 때문에 부단한 연습과 노력도 필요합니다.

최근 들어 쉬워진 수능과 내신의 환경에서는 사소한 계산 실수 하나가 너무나 뼈아픈 결과를 초래하고 있는 것이 현실입니다. 중학시절부터 계산력 만은 반드시 확실하게 다져 놓기를 바랍니다.

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√2 + √3 = √5 라고 생각하는 학생들이 의외로 많습니다만, 과연 그럴까요? 앞의 제곱근의 곱셈에서 공부했던 대로, 한번 제곱한 값을 비교해 보면 어떨까요?


제곱근을 처음 배우는 학생들이 자주 저지르는 실수입니다만, 곱셈공식으로 전개해 보면 쉽게 알아볼 수 있습니다.

다시 한 번 '양수(+) A, B 에 대하여 A = B 와 A² = B² 은 서로 동치' 라는 사실을 이용해서 확인하면 되겠지요?

(√2 + √3)²

= (√2 + √3) * (√2 + √3)

= √2  * (√2 + √3) + √3 * (√2 + √3)

= (√2)² + √2 * √3 + √3 * √2 + (√3)²

= 2 + √6+ √6 + 3

= 5 + 2√6  ≠  5

∴  √2 + √3 ≠ √5

[ 1 ] 제곱근 식에서는 예를 들어, 같은 종류인 √2 끼리 또는 √3 끼리만 덧셈과 뺄셈이 가능합니다. 따라서 루트기호 안의 수를 우선 간단하게 정리한 다음에 동일한 제곱근을 가진 동류항을 찾아내야 합니다.

그러면 다음의 제곱근 식에서는 어떤 항이 서로 덧셈과 뺄셈의 가능한 동류항일까요?

√18 – √12 + √2 + 4√3

(1) 루트기호 안의 수를 우선 간단하게 정리해 보면

√18 = √(3 * 3 * 2) = 3√2

√12 = √(2 * 2 * 3) = 2√3

(2) 이제 동류항끼리만 더하거나 뺄 수 있으므로

∴  √ 18  – √ 12  + √ 2  + 4√ 3 

= 3√ 2  – 2√ 3  + √ 2  + 4√ 3 

  

(3) √ 2  또는 √ 3  과 같은 제곱근은 변수인 것으로, 또 루트기호 앞의 유리수들은 계수인 것과 같이 간주해서 분배법칙으로 묶어 계산하면 됩니다.

∴   = (3 + 1) x √ 2  + (4 – 2) x √ 3 

= 4√ 2  + 2√ 3 

[ 2 ] 이번에는 곱셈과 덧셈 및 뺄셈이 섞여 있는 계산의 예를 보도록 할까요?

4√ 2  x √ 27  + √ 18  x 6√ 3  – √ 20 

(1) 이번에도 루트기호 안의 수를 우선 간단하게 정리한 다음에, 루트기호 앞의 유리수들은 계수인 것과 같이 간주하여 유리수끼리, 루트기호를 가진 무리수는 무리수끼리 따로 묶어서 계산합니다.

(a)  4√ 2  x √ 27 

= 4√ 2  x 3√ 3 

= (4 x 3) x (√ 2  x √ 3 )

= 12√ 6 

(b)  √ 18  x 6√ 3 

= 3√ 2  x 6√ 3 

= (3 x 6) x (√ 2  x √ 3 )

= 18√ 6 

(2) 이제 동일한 제곱근을 가진 동류항을 찾아내서 덧셈과 뺄셈만 간단하게 정리하면 됩니다.

4√ 2  x √ 27  + √ 18  x 6√ 3  – √ 20 

= 12√ 6  + 18√ 6  – 2√ 5 

∴   = 30√ 6  – 2√ 5 

[ 3 ] 마지막으로 나눗셈과 덧셈 및 뺄셈이 섞여 있는 제곱근 식의 계산 문제도 풀어 보도록 할까요?

4√ 54  ÷ 6√ 3  + √ 32  – 6√ 10  ÷ √ 20 

(1) 나눗셈에서도 루트기호 안의 수를 우선 간단하게 정리한 다음에, 루트기호 앞의 유리수들은 계수인 것과 같이 간주하여 유리수끼리, 루트기호를 가진 무리수는 무리수끼리 따로 묶어서 계산하면 됩니다.

(a)  4√ 54  ÷ 6√ 3 

= 12√ 6  ÷ 6√ 3 

= (12 ÷ 6) x (√ 6  ÷ √ 3 )

= 2√ 2 

(b)  6√ 10  ÷ √ 20 

= 6√ 10  ÷ 2√ 5 

= (6 ÷ 2) x (√ 10  ÷ √ 5 )

= 3√ 2 

(2) 마지막으로 동일한 제곱근을 가진 동류항을 찾아내어 덧셈과 뺄셈만 간단하게 정리하면

4√ 54  ÷ 6√ 3  + √ 32  – 6√ 10  ÷ √ 20 

= (4√ 54  ÷ 6√ 3 ) + √ 32  – (6√ 10  ÷ √ 20 )

= 2√ 2  + 4√ 2  – 3√ 2 

∴   = 3√ 2 

[ 4 ] 자 그럼, 배운 것을 공식으로 정리해 볼까요?

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양(+) 의 실수 A, B 와 유리수 m, n 에 대하여,

(1) m√ A  + m√ A  = (m + n)√ A 

(2) m√ A  x n√ B  = (m x n) x √ A x B  =mn√ AB 

(3) m√ A  ÷ n√ B  = (m/n) * √ A / B 

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