연립일차부등식
systems of linear inequalities
"수직선을 이용하면 연립부등식 풀이도
아주 쉬워지고 실수도 안해요"
" number line diagram makes it easier
to solve systems of inequalities "
연립 일차부등식은 2 개 이상의 일차부등식을 동시에 만족하는 교집합 (∩) 의 해를 구하는 단원입니다.
2 개 이상의 공통된 범위를 구하는 것이므로, 연립방정식의 경우와 같이 전략적 사고에 따른 접근방법을 이해하고, 활용할 수 있어야 합니다.
또한, 수직선 (number line) 다이어그램이나, 좌표평면에서의 그래프의 영역을 이용해서 문제를 파악하고 해결하는 훈련이 절대적으로 필요한 단원입니다.
상위권의 난이도 높은 문제들까지 해결할 수 있는 수학실력을 배양시키기 위해서, 최대한 그래프와 수직선 다이어그램을 활용한 설명을 추가했습니다.
다소 낯설고 어렵게 느껴지더라도, 반드시 기본개념과 응용력을 철저하게 익혀 두기 바랍니다.
다소 낯설고 어렵게 느껴지더라도, 반드시 기본개념과 응용력을 철저하게 익혀 두기 바랍니다.
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연립 일차부등식의 보기 문제부터 보도록 할까요?
아래의 연립 일차부등식을 풀어라.
↱ 3x – 2 > – x – 10
↳ 2x + 1 ≥ 3x – 2
(1) 우선, 주어진 연립방정식을 간단하게 정리한 다음, 아래와 같이 번호를 붙입니다. 그래야, 서로 다른 두 부등식을 그래프나 수직선 다이어그램에서 동시에 구분하면서 나타낼 수 있겠지요?
x > – 2 ⋯ ①
x ≤ 3 ⋯ ②
(2) 두 부등식을 아래와 같이 하나의 수직선 (number line) 에 서로 다른 높이로 함께 나타냅니다. 이 때, 등호가 있는 것은 큼지막하게 속이 채워진 동그라미를 표시하고, 등호가 없는 것은 속이 비어 있는 하얀 동그라미로 표시합니다.
(3) 연립한다는 뜻은 두 구간의 교집합 (∩) 을 구한다는 것이니까, 위 그림에서 파란색으로 표시된 부등식 ① 의 구간과 빨간색으로 표시된 부등식 ② 의 구간과의 공통된 구간 (∩) 을 위 그림에서 읽고 그대로, x 에 관한 식으로 옮기면 됩니다.
– 2 < x ≤ 3
이번에는, 절대값 부등식이 포함된 연립 일차부등식 문제를 풀어 보도록 할까요?
아래의 연립 일차부등식을 풀어라.
↱ 2x + 1 > 3x – 1
↳ | x | ≤ 3
(1) 우선, 주어진 연립방정식을 간단하게 정리한 다음, 아래와 같이 번호를 붙입니다. 그래야, 서로 다른 부등식들을 그래프나 다이어그램에서 함께 나타낼 수 있겠지요?
x < 2 ⋯ ①
– 3 ≤ x ≤ 3 ⋯ ②
(2) 두 부등식을 아래와 같이 서로 다른 높이로 함께 나타냅니다. 이 때, 등호가 있는 것은 속이 채워진, 그리고 등호가 없는 것은 속이 비어 있는 하얀 동그라미로 표시합니다.
(3) 위 그림에서 파란색으로 표시된 부등식 ① 의 구간과 빨간색으로 표시된 부등식 ② 의 구간과의 공통된 구간 (∩) 을 위 그림에서 읽고, 그대로 x 에 관한 식으로 옮기면 됩니다.
– 3 ≤ x < 2
이번에는 같은 문제를, 부등식의 영역을 나타내는 그래프를 이용해서 풀어 보도록 할까요?
(1) 가장 편리하게 부등식의 영역을 좌표평면에 나타내기 위해서, 각 부등식의 한 변을 0 으로 만들어 정리합니다.
x – 2 < 0 ⋯ ①
| x | – 3 ≤ 0 ⋯ ②
(2) 먼저 부등식 ① 에서, 좌변과 우변을 각각의 함수로 간주해서 아래와 같이 좌표평면에 그래프로 나타냅니다.
y = f (x) = x – 2 vs. y = 0
(3) 우변의 식 y = 0 은 바로 x 축을 나타낸다고 앞에서 배웠지요? 따라서, 위의 그래프에서, 파란색의 직선인 y = f (x) = x – 2 가 x 축 아래에 있는 파란색 영역이 해답이 됩니다.
참고로, x 에 관한 부등식을 푸는 것이니까, 부등식의 영역도 x 값을 기준으로 좌표평면에 표시하도록 합니다.
(4) 같은 방법으로, 부등식 ② 에서, 좌변과 우변을 각각의 함수로 간주해서 아래와 같이 좌표평면에 그래프로 나타냅니다.
y = g (x) = | x | – 3 vs. y = 0
(5) 우변의 식 y = 0 은 x 축을 나타내니까, 위의 그래프에서 빨간색의 꺽은선인 y = g (x) = | x | – 3 이 x 축과 같거나 그 아래에 있는 빨간색 영역이 해답이 됩니다.
(6) 이제, 위 그림에서 파란색으로 표시된 부등식 ① 의 영역과 빨간색으로 표시된 부등식 ② 의 영역과의 공통부분 (∩) 인 보라색의 영역이 정답을 나타냅니다.
(7) x 에 관한 부등식이니까, 최종적으로 찾아낸 보라색의 영역을 x 축에 대해서 x 기준으로만 읽어야 합니다. x = – 3 인 경계선은 포함되고 x = 2 인 경계선은 포함되지 않으니까, 그래프에서 읽고 그대로 식으로 옮기면,
– 3 ≤ x < 2
기초단계에서는, 좌표평면에서 부등식의 영역을 표시하고 그래프로 푸는 방법이 더 까다롭고 어렵다고 느껴질 지도 모르겠지만, 상위권의 심화수준으로 갈수록, 오히려 쉽고 강력한 해결 방법이니까, 반드시 기본 원리와 해결 과정을 철저하게 익혀 두기 바랍니다.
