이차함수(1) 이차함수의 그래프

이차함수의 그래프

quadratic function graphs

"포물선 그래프를 그려 볼까요?"

" Let's draw a quadratic function graph - a parabola "

이차함수의 그래프는 중 3 과정뿐만 아니라, 고등과정의 이차 방정식 및 미적분 등에 이르기까지, 중고등수학 전 과정에서 연계형 유형으로 다양하게 응용되는 가장 기본적인 개념입니다.

수학실력의 차이는, 함수와 그래프에서 비롯된다고 할 정도로 중요하니, 기초부터 확실하게 익혀 두기 바랍니다.

문과라 하더라도, 고등과정의 다항함수의 미적분까지 중고등수학 전반에서 활용되는 매우 중요한 개념입니다.

기초부터 아주 쉽게  설명할 예정이니, 철저히 이해하고 응용력을 키워 두기 바랍니다.

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[ A ]  y = ± x² 의 그래프

일반적으로, y 가 x² 에 비례한다고 하면,  y 는 x² 의 실수배가 되니까, 식으로는

y = ax² 으로 표현합니다.

그러면 a 가 ± 1 일 때, 즉,  y = x² 과 y = – x² 의 그래프는 어떻게 그릴까요?

앞의 일차함수에서 해봤던 것처럼, x 값에 따라 정해지는 y 값들을 표로 만들어 보면,

(x, y) 의 순서쌍들을 구해서, 좌표평면에 그려낼 수 있겠지요?

x	– 3	– 2	– 1	0	1	2	3
y = x2	9	4	1	0	1	4	9
y = – x2	– 9	– 4	– 1	0	– 1	– 4	– 9

(x, y) 순서쌍들을 좌표평면에 나타내니까, 아래의 그림처럼 y = x² 의 그래프는 파란색

포물선이 되고, y = – x² 의 그래프는 빨간색 포물선의 모양이 되지요?

위의 두 포물선은 y 축을 중심으로 좌우로 대칭의 모습입니다.

이러한 대칭의 중심이 되는 수직선을 포물선의 축이라 합니다.

위 그래프에서 보는 두 포물선의 축의 방정식은 모두 x = 0 이지요.

그리고, 축과 포물선의 교점을 꼭지점이라 부릅니다.

위 그림에서는 두 포물선의 꼭지점은 모두 (0, 0) 이 되지요?

또, y = x² 의 파란색 포물선은 아래로 볼록하다고 하고,

y = – x² 의 빨간색 포물선 그래프는 위로 볼록하다고 표현합니다.

마지막으로, 이번에 개정된 중학 표준교과에서는 빠졌지만, 중요한 개념이니까, 함수의 정의역과 치역에 대해서 알아볼까요?

함수 f (x) 가 실수값을 가지는 모든 x 의 집합을 정의역이라고 합니다.

즉, 함수가 정의되는 x 의 범위를 말하지요.

또한, 함수 f (x) 가 나타낼 수 있는 모든 실수값의 집합을 치역이라고 합니다.

다른 표현으로 함수값(y 값)의 범위를 말합니다.

앞의 순서쌍을 나타낸 표에서 본 것과 같이, 모든 실수값을 갖는 x 에 대하여, 함수값인 y 의 값은 두 포물선이 서로 다르지요?

정의역과 치역은 기본적으로, 집합기호로 나타냅니다.

정의역 = { x | x 는 모든 실수}에 대하여,

(1) y = x² 의 치역은 { y | y ≥ 0} 이고,

(2) y = – x² 의 치역은 { y | y ≤ 0} 라고 표현합니다.

[ B ]  y = ax² 의 그래프 

이번에는, a 값에 따라서, 포물선 그래프가 어떻게 변하는지 알아 볼까요?

앞에서 그려본, 아래로 볼록인 파란색 포물선 y = x² 의 그래프를 중심으로,

(1) a 가 1 보다 커지는 양수(+)일 때는, 점점  y 축에 붙는

     뾰족한 포물선이 되고,

(2) a 가 1 보다 작아지는 양수(+)일 때는, 점점  x 축에 붙는

     평평한 포물선이 되지요?

또, 위로 볼록인 빨간색 포물선 y = – x² 의 그래프를 중심으로,

(3) a 가 – 1 보다 작아지는 음수(–)일 때는 점점  y 축에 붙는

     뾰족한 포물선이 되고,

(4) a 가 – 1 보다 커지는 음수(–)일 때는, 점점  x 축에 붙는

     평평한 포물선이 되지요?

따라서, 두 경우를 합쳐서 표현한다면,

(6) | a | 가 1 보다 커질 때에는, 점점  y 축에 붙는 뾰족한 포물선이 되고,

(7) | a | 가 1 보다 작아질 때에는, 점점  x 축에 붙는 평평한 포물선이 된다고 정리할 수 있습니다. 

그러면, 확인 문제를 한번 풀어볼까요?

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아래 그림에서, 빨간색 실선으로 나타낸 포물선의 방정식이 y = – ax², 빨간색 점선의

 포물선은  y = ax² 이고, 파란색의 포물선은  y = kax² 이라고 할 때, 상수 k 값의 범위를

 구하여라.

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연립일차방정식(2) 특별한 해를 갖는 연립일차방정식

특별한 해를 갖는 연립일차방정식

special solution sets of linear systems

"답이 없거나 혹은 무수히 많은 연립방정식을 미리 알아낼 수 있나요?"

" Can we identify whether a linear system

has no solution or infinitely many? "

초등과정까지 자연수만으로 답을 구하는 문제들을 풀던 학생들은, 연립방정식에서도 숫자 대신에 문자가 들어간 경우에는 크게 당황하거나 어려움을 겪습니다.

중학수학부터는 문자를 사용해 일반화해 나가는 진정한 수학이 시작되기 때문에, 기본개념과 원리를 제대로 익혀 두어야, 심화 고등수학까지 어려움 없이 공부해 나갈 수 있습니다.

특히, 계수가 문자로 된 연립일차방정식은 직선의 위치 관계라는 그래프의 개념과 함께 이해하고 응용력을 키워 두어야, 고등수학에서 나타나는 다양한 유형들을 쉽게 해결할 수 있습니다.

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[ A ] 계수가 문자인 일차 연립방정식

우선,  쉬운 예를 하나 볼까요?

(1)       ↱ 6x + 3y  =  3

           ↳ 4x + 2y  =  2

두 식은 실제로는 똑 같은 식이기 때문에, 미지수 2 개에 식은 1 개인 꼴이라, 해가 무수히 많게 됩니다.

이 경우는 계수들의 관계가 6 / 4 = 3 / 2 = 3 / 2 인 것을 확인해 보세요.

또, 하나를 볼까요?

(2)       ↱ 2x + 3y  =  3

           ↳ 2x + 3y  =  1

이번에는 2x + 3y 가 3 도 되고, 1 도 된다는 것은 모순이지요? 따라서, 이 경우에는 해가 없습니다.

이 경우는 계수들의 관계가 2 / 2 = 3 / 3 

≠

 3 / 1 인 것을 확인해 보세요.

그러면, 계수가 문자로 된 연립 일차방정식은 어떻게 풀어야 할까요?

(3)       ↱ ax + by  =  c

           ↳ dx + ey  =  f

여기서, 만일 a / d 

≠

 b / e 라면?

위의 (1), (2)의 경우가 될 수는 도저히 없겠지요?



따라서, 일반적인 문자로 나타낸 연립 일차방정식은, 위에서 살펴본 바와 같이

3가지 경우로 나누어서 풀어야 합니다.

배운 내용을 문자로 일반화시켜 볼까요?

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 연립 일차방정식  ↱ ax + by  =  c   은

                        ↳ dx + ey  =  f

 (1) a/d 

=

 b/e 

=

 c/f 이면, 무수히 많은 해를 갖는다.

 (2) a/d 

=

 b/e 

≠

 c/f 이면, 해가 없다.

 (3) a/d 

≠

 b/e 이면, 오직 한 쌍의 해를 갖는다.

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[ B ] 일차 연립방정식과 직선의 위치 관계

이번에는, 연립방정식 ↱ ax + by  =  c 을  두 직선방정식이라 생각해 볼까요?

                            ↳ dx + ey  =  f

(1) 우선, 두 직선에서 a/d = b/e 는 무슨 뜻일까요?

     분수식의 성질을 이용하면,

a*e = d*b = b*d

∴  a/b = d/e

   따라서, 두 직선의 기울기가 같다는 뜻이 되는군요.

(2) 그러면, 두 직선에서 b/e = c/f 는 무슨 뜻일까요?

     분수식의 성질을 이용하면,

b*f = e*c = c*e

∴  c/b = f/e

   따라서, 두 직선의 y 절편이 같다는 뜻이 되지요.

     

이와 같이, 연립 일차방정식을 직선의 그래프로 나타내면, 일반적으로 다음의 3가지 경우로 나누어 볼 수가 있습니다.

(1) a/d 

=

 b/e 

=

 c/f 이면, 두 직선은 일치하므로, 무수히 많은 교점을 갖는다. 교점의 x 좌표가 방정식의 해가 되니까, 연립방정식으로는 ‘무수히 많은 해를 갖는다’ 와 같은 뜻이지요?

아래 그림에서 보면 빨간색과 파란색의 두 직선이 일치하니까, 보라색의 직선 그래프로 나타나지요? 

(2) a/d 

=

 b/e 

≠

 c/f 이면, 두 직선은 평행하므로, 서로 만나지 않는다. 즉, 교점의 x 좌표가 방정식의 해가 되니까, 연립방정식으로는 ‘해가 없다’ 와 같은 뜻이지요?

아래 그림에서 빨간색과 파란색의 두 평행한 직선으로 나타납니다.

 

(3) a/d 

≠

 b/e 이면, 두 직선은 서로 기울기가 다르므로, 한 점에서 만난다. 교점의 x 좌표가 방정식의 해가 되니까, 연립방정식으로는 ‘오직 한 쌍의 해를 갖는다’ 와 같은 뜻이지요?

아래 그림에서, 서로 기울기가 다른 빨간색과 파란색의 두 직선이 한 점에서 만나고 있지요? 

위에서 그래프로 나타낸 [직선의 위치관계] 는, 일차함수와 그래프에서 자주 응용되는 개념이니까, 3 가지의 각 경우별로, 계수가 문자인 연립 일차방정식과 함께, 반드시 이미지로 기억해 두기 바랍니다.

또한, 일반 학생들은 배우지 않겠지만, 심화과정을 배우는 상위권 학생들은 개정된 [고급수학 I] 의 [행렬과 연립일차방정식] 단원에서 다시 다루게 됩니다.

그러면 이제, 확인문제를 한번 풀어 볼까요?

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 다음 연립방정식의 해가 존재하지 않고,

       ↱ 2x + 8y = 10

       ↳ ax  – y  = 2b

 (x, y) = (5, –4) 가 두 번째 식을 만족한다고 할 때,

 상수 a, b 의 값을 구하여라.

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