일차방정식(5) 일차방정식의 응용 (시계)

일차방정식의 응용(시계)

linear equation word problem - clock hands

"어려운 분침, 시침문제도 결국 [거리 속력 시간]의 문제예요"

" difficult clock hands problem is

also a kind of [distance speed time] formula "

초등학교부터 중학 및 고등학교에 이르기까지, 시계의 분침과 시침과 관련된 문제만 보면, 온 몸이 굳어지는 트라우마를 겪는 학생이 상당히 많을 겁니다.

(1) 10진법이 아니라 60분과 360° 단위를 쓰는 것도 어렵지만,

(2) 시간을 알아내기 위해, 거리를 속도로 나누는 분수식의 계산 구조가 계산을 아주 어렵게 만들기 때문이지요.

그러나, 기본적인 표준형문제 하나 정도를, 시각화된 다이어그램이나 그림의 이미지와 함께 이해하고 기억해 두면, 큰 어려움 없이 자신감을 가지고 해결할 수 있습니다.

중고등과정에서 수학 공부를 잘하는 우수한 학생들의 특징은, 어려운 개념을 그림이나 다이어그램으로 시각화하는 것을, 쉽고 영리하게 잘한다는 점입니다.

고등수학에서도 응용계산으로 결합되는 유형으로 자주 출제되니, 철저하게 원리를 이해하고 복습해 두도록 하세요.

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(1) 우선, 시계 문제에서는 제일 먼저, 밑의 그림을 그리거나, 이미지를 머리 속에 떠올리는 것이 좋습니다.

(2) 초록색 분침은 1시간(=60분)에, 초록색 점선이 움직인 거리만큼인 1 바퀴(=360°)를 돕니다. 따라서, 1분에는 ( 360° / 60분 ) = 6°를 움직이구요,

(3) 위 그림에서 보면, 빨간색 시침은 1시간(=60분)에, 빨간색 점선이 움직인 거리만큼인 1/12 바퀴(=(360°/12) = 30°)를 돌지요? 즉, 1분에는 30° / 60분 = 0.5°를 움직입니다.

(4) 따라서 시계 문제를 해결하기 전에, 시침과 분침의 속력을 기억해 내거나 미리 확인해 두고 시작하는 것이 좋습니다. 시계 문제에서, 거리=360°라고 간주한다면, (a) 분침의 속력은 1시간당 360°/h 또는 1분당 6°/m, (b) 시침의 속력은 1시간당 30°/h 또는 1분당 0.5°/m가 되겠지요?

(5) 이제 이러한 유형의 문제에서, 주어진 조건에 따라 식을 세울 때는 <시간=거리÷속력> 또는 <속력=거리÷시간>와 같은 분수형태 즉, 나눗셈의 방정식보다는 정방정식 곱셈의 형태인 [거리 = 속력 * 시간]으로 식을 세워야 계산이 쉬워집니다.

자, 이제 문제를 해결해 볼까요?

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 3시와 4시 사이에 시침과 분침이 일치하는 시각을 구하여라.

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(1) 우선, 시계 이미지를 떠올려야 하겠지요?

(2) 그리고, 구하는 것을 x 로 놓는 것이 좋겠지요?
시침과 분침이 일치하는 시각을 3시 x 분이라고 놓고, [거리 = 속력 Χ 시간]의 식을 세웁니다.

(3) 시침이 움직인 거리(각도)는 얼마일까요?
시침은 숫자 3 부터 출발해서, 빨간색 점선만큼 움직였으니까, 3시 x 분까지, 시침이 x 분 동안 움직인 거리 = 0.5° * x

(4) 그럼, 분침이 움직인 거리(각도)는 얼마일까요?
분침은 숫자 12 부터 출발해서 파란색 점선만큼 움직였으니까, 3시 x 분까지는 분침이 x 분 동안 움직인 거리 = 6° * x

(5) 이제, [3시에 해당하는 거리 + 시침이 x 분 동안 움직인 거리]와 [분침이 x 분 동안 움직인 거리]가 서로 같으니까, 식을 세워 풀면

90° + 0.5° * x = 6° * x

90° = 5.5° * x

x = 90 / 5.5 = 180 / 11

따라서, 답은 3시 (180/11)분

3. 열심히 해도 수학실력이 안 늘어요 ㅠㅠ

열심히 한다고 하는데도

수학실력이 늘지를 않네요 ㅠㅠ

"살아있는 능동적인 방법으로 공부해야

수학실력이 늘어요"

대부분의 학생들은 책이나 문제집을 보면서 혼자 스스로 수학공부를 예습해 나가기가 쉽지 않습니다. 따라서 학원 강의를 수강하거나 인터넷 강의를 듣게 되는 것이 일반적입니다.

그러나 이러한 학습 환경에서는 아무 생각도 없이 수동적으로 강의를 따라가기만 하거나, 듣는 것만으로는 거의 효과가 없습니다.

예를 들어, 어느 정도 중급 이상의 난이도를 가진 수학문제를 해결하는 과정을 구체적으로 살펴 보도록 할까요? 일반적으로 다소 어려운 문제의 풀이는 적어도 다음과 같은 과정을 거쳐야 할 겁니다.

(1) 어떤 단원, 주제와 관련된 문제인지 생각해 낸다

(2) 이 문제를 해결하기 위하여는 어떤 방법을 적용할 것인지 궁리해 보고 필요한 공식이나 원리와 개념을 기억해 낸다

(3) 생각해 낸 여러 개의 방법 중, 어떤 것이 가장 좋을 지를 결정하고 선택한다

(4) 위의 결정된 방법대로 계산하여 답을 구한다

(5) 답을 구한 방법 외의 다른 방법으로 다시 풀어보거나 답을 문제에 직접 대입해서 옳게 정답을 구한 것인지 재확인한다

그런데, 정해진 시간 내에 진도를 맞추어야 하는 강의는 대부분, 선생님이 (1), (2), (3) 단계를 줄줄이 설명하고 나서, (4) 단계 중에서도 단순한 수식만을 계산해 보라고 잠깐 시간을 주고는 다음 문제로 넘어 가지요.

그러면 학생은 진짜 실력이 되는 (1), (2), (3)은 해보지도 못하고, 열심히 초등수준의 단순계산만 하다가 시간을 보냅니다. 그러니 두뇌보다는 손목 힘만 느는 거죠^^

따라서, 여러 명을 대상으로 하는 강의식 수업이나 쉴 틈없이 스트리밍되는 인터넷 강의는, 스스로 예습해 준비해 두거나, 중간 중간 멈추어 스스로 체크하고 메모하는 과정이 없이, 수동적으로만 따라가는 식으로는 거의 효과가 없습니다.

미리 예습을 해서 자기만의 (1), (2), (3)과정을 미리 준비해 둔 후에, 능동적으로 ‘아, 선생님 설명을 보니까 이런 좋은 방법도 있었는데? 나는 미처 생각을 못한 게 있었구나…’ 하고 배우거나

‘나는 이런 방법으로 풀었는데 왜 다른 결과가 나올까? 뭐가 잘못된 거지?’ 등을 질문해서 살아 있는 공부를 해야만 진짜 실력을 키워 나갈 수 있는 겁니다.

많은 학생들이 ‘선생님, 19 페이지, 5 번 문제를 모르겠어요. 좀 다시 설명해 주세요’ 라는 식의 단순하고 성의없는 질문을 하고, 너무 친절한 초보 선생님들은 단순하게 설명을 자꾸 반복합니다만, 이는 지극히 수동적인 죽어 있는 공부를 하고 있다는 증거입니다.

교사나 학생 서로에게는 보다 힘든 방법이 될 수도 있겠지만,

‘ 5번 문제를 다시 풀어 보니까, 이렇게 이렇게 여기까지는 해결이 되는데, 그 다음부터 막혀서 더 이상 어떻게 해야 할 지 모르겠어요. 내 방법이 어디가 왜 잘못된 거죠? ’

‘ 제가 푼 방법으로 답은 맞았는데, 모범답안의 풀이와 비교해 보니까 이런 점이 다르네요. 제 방법이 잘못된 건데 우연히 맞은 건 아니지요? ’

‘ 이렇게 힘든 계산으로 간신히 답은 나왔는데, 너무 무식한 방법 같아요. 더 좋은 다른 방법은 없나요? ‘

등등의 질문과 토의 그리고 설명을 주고 받는 방식으로 최대한 접근해야, 진짜로 살아 있는 공부를 하는 것이고, 공부한 만큼 수학실력이 쑥쑥 자라나게 됩니다.

혹시 질문할 선생님이 없거나 같이 토의할 친구가 없더라도, 우수한 학생들은 자기만의 복습할 노트에 이런 질문들과 토의할 내용들을 적어 놓고, 심지어 며칠을 끙끙거리며 자문자답해 보고 연구 고민해 보면서 쑥쑥 실력을 키워 나가지요.

제곱근(3) 제곱근의 덧셈과 뺄셈 (1)

제곱근의 덧셈과 뺄셈(1)

square root arithmetic

"계산력이 튼튼해야 뼈아픈 실수를 줄일 수 있어요"

" basic calculation skills are essential

to avoid stupid math mistakes "

제곱근 식의 계산은 루트기호 안의 제곱수를 찾아내는 암산능력을 필요로 하므로, 중학시절에 반드시 갖추어 두어야 할 기본적인 계산연습의 대표적인 단원입니다.

제곱수를 쉽고 빠르게 찾아 내기 위하여는 부분적인 소인수분해를 암산으로 해내는 능력을 키워야 하기 때문에 부단한 연습과 노력도 필요합니다.

최근 들어 쉬워진 수능과 내신의 환경에서는 사소한 계산 실수 하나가 너무나 뼈아픈 결과를 초래하고 있는 것이 현실입니다. 중학시절부터 계산력 만은 반드시 확실하게 다져 놓기를 바랍니다.

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√2 + √3 = √5 라고 생각하는 학생들이 의외로 많습니다만, 과연 그럴까요? 앞의 제곱근의 곱셈에서 공부했던 대로, 한번 제곱한 값을 비교해 보면 어떨까요?


제곱근을 처음 배우는 학생들이 자주 저지르는 실수입니다만, 곱셈공식으로 전개해 보면 쉽게 알아볼 수 있습니다.

다시 한 번 '양수(+) A, B 에 대하여 A = B 와 A² = B² 은 서로 동치' 라는 사실을 이용해서 확인하면 되겠지요?

(√2 + √3)²

= (√2 + √3) * (√2 + √3)

= √2  * (√2 + √3) + √3 * (√2 + √3)

= (√2)² + √2 * √3 + √3 * √2 + (√3)²

= 2 + √6+ √6 + 3

= 5 + 2√6  ≠  5

∴  √2 + √3 ≠ √5

[ 1 ] 제곱근 식에서는 예를 들어, 같은 종류인 √2 끼리 또는 √3 끼리만 덧셈과 뺄셈이 가능합니다. 따라서 루트기호 안의 수를 우선 간단하게 정리한 다음에 동일한 제곱근을 가진 동류항을 찾아내야 합니다.

그러면 다음의 제곱근 식에서는 어떤 항이 서로 덧셈과 뺄셈의 가능한 동류항일까요?

√18 – √12 + √2 + 4√3

(1) 루트기호 안의 수를 우선 간단하게 정리해 보면

√18 = √(3 * 3 * 2) = 3√2

√12 = √(2 * 2 * 3) = 2√3

(2) 이제 동류항끼리만 더하거나 뺄 수 있으므로

∴  √ 18  – √ 12  + √ 2  + 4√ 3 

= 3√ 2  – 2√ 3  + √ 2  + 4√ 3 

  

(3) √ 2  또는 √ 3  과 같은 제곱근은 변수인 것으로, 또 루트기호 앞의 유리수들은 계수인 것과 같이 간주해서 분배법칙으로 묶어 계산하면 됩니다.

∴   = (3 + 1) x √ 2  + (4 – 2) x √ 3 

= 4√ 2  + 2√ 3 

[ 2 ] 이번에는 곱셈과 덧셈 및 뺄셈이 섞여 있는 계산의 예를 보도록 할까요?

4√ 2  x √ 27  + √ 18  x 6√ 3  – √ 20 

(1) 이번에도 루트기호 안의 수를 우선 간단하게 정리한 다음에, 루트기호 앞의 유리수들은 계수인 것과 같이 간주하여 유리수끼리, 루트기호를 가진 무리수는 무리수끼리 따로 묶어서 계산합니다.

(a)  4√ 2  x √ 27 

= 4√ 2  x 3√ 3 

= (4 x 3) x (√ 2  x √ 3 )

= 12√ 6 

(b)  √ 18  x 6√ 3 

= 3√ 2  x 6√ 3 

= (3 x 6) x (√ 2  x √ 3 )

= 18√ 6 

(2) 이제 동일한 제곱근을 가진 동류항을 찾아내서 덧셈과 뺄셈만 간단하게 정리하면 됩니다.

4√ 2  x √ 27  + √ 18  x 6√ 3  – √ 20 

= 12√ 6  + 18√ 6  – 2√ 5 

∴   = 30√ 6  – 2√ 5 

[ 3 ] 마지막으로 나눗셈과 덧셈 및 뺄셈이 섞여 있는 제곱근 식의 계산 문제도 풀어 보도록 할까요?

4√ 54  ÷ 6√ 3  + √ 32  – 6√ 10  ÷ √ 20 

(1) 나눗셈에서도 루트기호 안의 수를 우선 간단하게 정리한 다음에, 루트기호 앞의 유리수들은 계수인 것과 같이 간주하여 유리수끼리, 루트기호를 가진 무리수는 무리수끼리 따로 묶어서 계산하면 됩니다.

(a)  4√ 54  ÷ 6√ 3 

= 12√ 6  ÷ 6√ 3 

= (12 ÷ 6) x (√ 6  ÷ √ 3 )

= 2√ 2 

(b)  6√ 10  ÷ √ 20 

= 6√ 10  ÷ 2√ 5 

= (6 ÷ 2) x (√ 10  ÷ √ 5 )

= 3√ 2 

(2) 마지막으로 동일한 제곱근을 가진 동류항을 찾아내어 덧셈과 뺄셈만 간단하게 정리하면

4√ 54  ÷ 6√ 3  + √ 32  – 6√ 10  ÷ √ 20 

= (4√ 54  ÷ 6√ 3 ) + √ 32  – (6√ 10  ÷ √ 20 )

= 2√ 2  + 4√ 2  – 3√ 2 

∴   = 3√ 2 

[ 4 ] 자 그럼, 배운 것을 공식으로 정리해 볼까요?

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양(+) 의 실수 A, B 와 유리수 m, n 에 대하여,

(1) m√ A  + m√ A  = (m + n)√ A 

(2) m√ A  x n√ B  = (m x n) x √ A x B  =mn√ AB 

(3) m√ A  ÷ n√ B  = (m/n) * √ A / B 

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