인수분해 공식
factoring formulas
"다항식을 단항식의 곱으로 바꾸는 인수분해는
곱셈공식의 역이지요"
" factoring is an inverse process of polynomial expansions
into a product of simpler ones "
앞에서 배운 곱셈공식들을 꺼꾸로 활용하여, 다항식을 곱셈으로 연결된 단항식으로 역변환 하는 것이 인수분해입니다.
초등수준에서 구구단을 외워 두어야 산수계산을 잘 할 수 있는 것과 마찬가지로, 중고등수학
에서 방정식 등을 해결하기 위하여는 반드시 기초적인 인수분해 공식들을 외워 두어야만 합니다.
상위수준의 어려운 심화수학도 기본적인 원리를 기억해 두거나 기초적인 공식에 대한 암기에서 출발한다는 점을 명심하고, 반복적인 연습과 철저한 복습을 해두기 바랍니다.
♧ ♧ ♧ ♧ ♧ ♧
지난번에 배웠던 다항식의
전개 (x – 2) (x + 3) = x² + x – 6 을 역으로 계산하는 과정. 즉, x² + x
– 6 = (x – 2) (x + 3) 로 바꾸는 것을 인수분해라고 합니다.
이 예에서는, 3 개의
항으로 되어 있는 다항식을, 곱셈으로만 이루어진 단항식으로 바꾸는 과정이지요.
이렇게 단항식으로 바꾸고 나면, [ A
* B = 0 이면, A =
0 또는 B = 0 ] 이라는 'Zero Product Property' 원리를 이용해서 방정식을 풀기가 아주 쉬워집니다.
x² + x – 6 = 0
이라는 방정식을
풀 때,
인수분해를 이용하면,
x² + x – 6 = (x – 2) (x + 3) = 0.
x² + x – 6 = (x – 2) (x + 3) = 0.
따라서, [ (x – 2) (x + 3) = 0 이니까, x –
2 = 0 또는
x +
3 = 0 ] 의 원리로
답은 x =
2 또는
x =
– 3 이라고 구할 수 있는 것입니다.
예를 들어, x⁴ – 7x³
– 7x² + x + 6 = 0 이라는
4 차 방정식도,
x⁴ – 7x³
– 7x² + x + 6 = (x – 1) (x + 1) (x + 2) (x – 3) 라고 인수분해만 해 낸다면,
(x – 1) (x + 1) (x + 2) (x – 3) = 0 이니까,
위에서 설명한
원리대로, x =
1 또는 x = – 1 또는 x =
– 2 또는 x = 3 이라고
풀어낼 수
있지요.
자 그럼, 앞에서 배운 곱셈공식을 역으로 정리하면 인수분해 공식이 되니까, 복습
겸 다시 한번 정리해 볼까요?
마치 초등산수에서 구구단을
외우듯이, 많은 연습문제 풀이를 통해서, 철저하게 외워두기 바랍니다.
[ 1 ] 기초 공식
──────────────────────────────
(1) a² ± 2ab +
b² =
(a ± b)²
(2) a² – b² = (a + b) (a – b)
(3) x² + (a + b)x +
ab = (x + a) (x + b)
(4) acx² + (ad + bc)x +
bd = (ax + b) (cx + d)
(5) a² + b² + c² + 2ab +
2bc +
2ca = (a + b + c)²
──────────────────────────────
[ 2 ] 심화 공식
이번에는 고등수준에서 자주
등장하는 심화 공식들 입니다.
───────────────────────
(6) a³ ± 3a²b
+ 3ab² ± b³ = (a ± b)³
───────────────────────
앞의 다항식의 곱셈공식에서 설명한 대로, 음수의 경우는 (a – b)³ = { a + (–
b) }³라고 생각하는 것이 쉽고, 외우기도 아주 편리하지요.
────────────────────────────
(7) x³ + (a + b + c)x² + (ab + bc + ca)x + abc
= (x + a)
(x + b) (x + c)
────────────────────────────
이것도, (x – α) (x – β) (x – γ) = 0 의 형태로 바꾸면,
삼차방정식의 [세
근 α, β,
γ 와 계수와의 관계]라는
단원에서 나오는 중요한 공식입니다.
──────────────────────
(8) a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)
a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)
──────────────────────
이 식도 음수의 경우는 위에서
설명한 것과 마찬가지로, b 대신에 (–
b)를 대입한다고 생각하면, 외우기도 쉽고 아주 편리하지요.
워낙 자주 등장하는 유형이니까, 하나의 예를 들어 볼까요?
x³ + 1 =
0 이라는 방정식을 풀 때는, 이 인수분해
공식을 이용해서
x³ + 1 =
(x + 1) (x²
– x + 1)
= 0. 따라서, '실근인 x
= – 1 과
고등수학에서 배우는 두
허근 x
= (1 ± √3i ) / 2 를 해로 갖는다'
라고 풉니다.
─────────────────────────────
(9) a³ + b³ + c³ – 3abc
= (a + b
+ c) (a² + b² + c² – ab – bc – ca)
─────────────────────────────
위 식은 고등수학에서 심화
증명문제로도 가끔 출제됩니다. 한번 증명해 볼까요?
a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b) 를 이용합니다.
a³ + b³ + c³ – 3abc
= (a + b)³ – 3ab(a
+ b) + c³ – 3abc
= (a + b)³ + c³ – 3ab(a
+ b
+c)
= (a + b + c)³ –
3(a + b)c Χ (a + b +c) – 3ab(a
+ b
+c)
= (a + b + c) {(a + b + c)² – 3(a + b)c – 3ab}
= (a
+ b + c) (a² + b² + c² – ab – bc – ca)
고등수학의 심화문제에서 단골로
등장하는 중요한 공식이니, 반드시 외워서 활용할 수 있도록 해두기 바랍니다.
