한점을 지나고 평행한 직선
point-slope form of a line equation
"원점을 잡고 지나는 점까지
평행이동시키세요"
" grab & drag the line
from (0, 0) to the point "
일차함수의 그래프는 중고등 수학 전과정에서 다양하게 활용되는 매우 중요한 단원입니다.
문과 고등학생 중에도 직선의 그래프도 제대로 못 그려서 쩔쩔매는 경우를 자주 봅니다. 수학실력의 차이는, 함수와 그래프에서 비롯된다고 할 정도로 중요하니, 기초부터 확실하게 다져 두기 바랍니다.
문과라 하더라도, 고등과정의 다항함수의 미적분까지 공부하는 데 꼭 필요한 중요한 개념이니까 확실하게 이해해 두기 바랍니다.
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기울기를 알고 한 점을 지나는 직선의 방정식을 구하는 방법에는 대표적으로 2 가지가 있습니다.
앞에서 배웠던 y = ax + b 를 활용하는 방법이 가장 기초적이고 기본적인 방법이라면, 한 단계 높은 수준으로, 평행이동의 개념을 이용한 y – β = m (x – α) 의 방법이 있습니다.
어느 정도 실력이 갖추어진 학생이라면, 두 번째의 평행이동을 이용한 방법을 사용하는 것이 응용력의 향상에 도움이 됩니다. 그러면 하나씩 구체적으로 알아 보도록 할까요?
[ A ] 표준적인 y = ax + b 를 활용하는 방법 (slope-intercept form)
예를 들어, 기울기가 2 이고 점 (1, 4) 를 지나는 직선의 방정식은 어떻게 구할 수 있을까요?
(1) 앞에서 배웠던 대로, 직선의 방정식은 y = (기울기) * x + (y 절편) 라고 세우는 것이 가장 기초적인 표준 방법이라고 했었지요? 그런데, 기울기가 2 라고 했으니까, 우선 y = 2x + b 라고 놓을 수 있습니다.
(2) 이 직선이 (1, 4) 를 지난다고 했으니까, 점의 x 좌표인 1 과 y 좌표인 4 를 각각 직선식의 x 좌표와 y 좌표의 자리에 대입하면 만족시켜야 합니다.
(3) 이제, 직선식에 이를 대입해서 b 값을 구하면,
4 = 2 * 1 + b
b = 2
∴ y = 2x + 2
[ B ] 평행이동 y – β = m (x – α) 를 활용하는 방법 (point-slope form)
예를 들어, y = (1 / 2) x 와 평행하면서 점 A = (2, 3) 을 지나는 직선의 방정식을 구해 보도록 할까요?
아래의 그림에서 보듯이 두 직선은 평행하니까, 우리가 식을 구하려는 파란색의 직선은
(1) 검은색의 직선 y = (1 / 2) x 위의 원점을 잡은 다음,
(2) 빨간색 점선을 따라 점 A = (2, 3) 까지 평행이동을 시킨 것이라고 생각해도 되겠지요?
바로 이 원리를 이용하면, 아주 쉽게 파란색 직선의 방정식을 구해 낼 수 있습니다.
위에서 설명한 대로, 파란색의 직선은 검은색 직선 위의 원점 (0, 0) 을 빨간 점선을 따라, 오른쪽으로 2 만큼 그리고 동시에 위로 3 만큼 평행이동 것이니까, 검은색 직선의 식에서, x 대신에 x – 2 를, y 대신에 y – 3 을 동시에 ( ∩ ) 대입하면 됩니다.
y – 3 = (1 / 2) (x – 2)
y = (1 / 2) x – (1 / 2) * 2 + 3
∴ y = (1 / 2) x + 2
이 평행이동을 활용한 방법은 중요하니까, 문자를 써서 정리해 볼까요?
기울기가 m 이고, 점 (α, β) 를 지나는 직선의 방정식은
y – β = m (x – α)
∴ y = m (x – α) + β
공식도 정리했으니까, 확인 문제를 한 번 풀어 볼까요?
직선 y = (1 / 3) x 와 수직이면서, 점 (– 2, 8) 을 지나는 직선의 방정식을 구하여라.
(1) 수직인 두 직선의 기울기는 서로 곱하면 – 1 이 된다는 것은 잘 알고 있겠지요? 따라서, 구하는 직선의 기울기는 – 3 이 됩니다.
(2) 이제, 기울기 = – 3 을 알아 냈고, 점 (– 2, 8) 을 지난다고 했으니까, 위에서 배운 공식을 그대로 적용하면,
y – 8 = – 3(x – (– 2))
y – 8 = – 3x + 3 * (– 2)
y = – 3x – 6 + 8
∴ y = – 3x + 2
