1. 제곱근

[ square root of a number ]

어떤 수를 제곱하여 실수가 될 때의 그 어떤 수를 제곱근이라고 하며, 이차방정식의 해를 구하는 기초 개념입니다.

중3에서는 실수 범위 내에서의 제곱근을 공부하고, 고1 과정에서는 음수의 제곱근인 허수 즉, 복소수 범위까지 확대됩니다.

특히, 문자로 표시되는 제곱근의 성질은, 심화 수준의 고등수학에서도 자주 등장하는 유형이므로, 기본적인 개념과 계산방법 등을 정확하게 이해해 두어야 합니다.

♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧

예를 들어, 어떤 수 x 를 제곱하여 9 가 될 때, 그  x 를 9 의 제곱근이라 합니다. 즉,  x² = 9 의 해가 되는 \(\sqrt 9 \) (= 3)과  – \(\sqrt 9 \) (= – 3)의 두 근을 9 의 제곱근이라 하지요.

이 때의 \(\sqrt 9 \) (= 3)을 ‘ 루트 9 ’ 또는 ‘ 제곱근 9 ’ 라고 부릅니다. 또, 실제로 계산의 결과나 답을 쓸 때는, 제곱수의 제곱근을 루트기호로는 나타내지 않는 것이 원칙입니다.  즉,  \(\sqrt 9 \) 또는 \(\sqrt {25} \)는 각각 루트기호를 쓰지 않고, 그냥 자연수 3 또는 5 라고 표현합니다.

3 의 제곱근은  x² = 3 의 해가 되는 \(\sqrt 3 \)과  – \(\sqrt 3 \)의 두 개가 있고, 이 때의 \(\sqrt 3 \)을 ‘ 루트 3 ’ 또는 ‘ 제곱근 3 ’ 이라고 부릅니다.

그러면, 진위문제에서 자주 등장하는 ‘ 제곱근 3’ 과 ‘ 3 의 제곱근’ 의 용어의 차이는 충분히 알아챌 수 있겠지요?

(1) ‘제곱근3’ 은 단순히 \(\sqrt 3 \)을 말하는 것이고,

(2) ‘3의 제곱근’은 \(\sqrt 3 \)과 – \(\sqrt 3 \)의 두 개를 모두 말하는 것입니다.

그러면 \(\sqrt 5 \)는 얼마나 되는 숫자인지, 이번에는 제곱근 계산방법을 배워 볼까요? 루트계산은 제곱의 단위로, 십진법에서는 10² = 100 단위를 기준으로 계산해 나갑니다.

(1) 소수점을 기준으로 첫 100 단위는 5 이니까, 제곱수가 5 이하에서

     최대가 되는 자연수 2 를 왼쪽에 수직으로 나란히 적습니다.

(2) 5 에서 2 Χ 2 = 4 를 빼주고 남은 1 을, 100 단위가 되는 소수점 이하

     둘째 자리까지 확장해서 100 으로 놓습니다.

                          2.    2    3   6   

       2               ) 5.|0 0|0 0|0 0|

       2                 4       

       42               1.|0 0

         2                   8 4       

       443                 1 6|0 0

           3                 1 3 2 9       

       4466                   2 7 1|0 0

            6                   2 6 7 9 6       

          ⋯                           3 0 4|0 0 ⋯

  

(3) 위의 계산식에서 초록색으로 표시된 것과 같이, 4의 오른쪽과 그 밑에

     같은 숫자를 넣어, 곱셈을 한 결과가 남은 100 이하에서 최대가 되는

     자연수 2 를 수직으로 나란히 적습니다.

(4) 이런 방법으로 계속해 나가면,  \(\sqrt 5 \) = 2.236 ⋯ 의 계산 결과를 얻을 수

     있습니다. 무리수이니까 당연히 끝없이 계속되겠지요?

중3 이상 또는 고등학생이라면, 제곱근표를 보거나 계산기를 쓰지 않고도,  \(\sqrt 2 \) = 1.414 ⋯ ,  \(\sqrt 3 \) = 1.732 ⋯ 정도는 반드시 외워 두어야 합니다.

\(\sqrt 2 \)와 같이 이렇게 반복되지 않고,  끝없이 나가는 무한소수는 기약분수로 표현할 수 없으니까, 유리수가 아니지요?

따라서, 유리수가 아니라는 뜻으로, 무리수라고 표현하지요. 우리가 배우는 실수는 {유리수} ∪ {무리수}로 구성되어 있습니다.

이제, 문자로 표시한 제곱근에 대해서 알아 볼까요?

중학수준에서는 양수(또는 0) 에 대한 제곱근만을 배우니까, 문자를 사용한 제곱근 \(\sqrt a \) 에 대하여는,

(1) 루트기호 안의 수인  a ≥ 0 이 항상 성립하고,

(2) 따라서,  \(\sqrt a \) ≥ 0 라고 정의합니다.

참고로, 고등수학에서는 a < 0 인 경우까지 확장해서, 허수라고 정의하고 사용하게 되지요.  혼동을 피하기 위해서, 고등수학의 범위가 되는 a < 0 인 경우는 별도의 [복소수] 단원에서 공부하도록 합니다.

그러면, 이번에는 \(\sqrt {{a^2}} \)에 대해서 공부해 볼까요?

(1) 양수(또는 0) 에 대한 제곱근만을 배우는 중학수학의 범위라 하더라도,

      루트 안의 전체의 수인 a² ≥ 0 이 성립하는 것이지,

(2)  a ≥ 0 까지도 항상 성립하는 것을 말하는 것은 아니라는 점에 유의해야

     합니다.

(3) 즉, \(\sqrt {{a^2}} \) 을 풀 때는 a가 양수(+) 인지 혹은 음수(–) 인지를

     따져보아야 합니다.

(4) a가 양수(+)일 때는 \(\sqrt {{a^2}} \) = a가 되고

(5) a가 음수(–)일 때는 \(\sqrt {{a^2}} \) = – a가 되니까,

(6) 절대값의 성질과 똑같지요?   따라서,  \(\sqrt {{a^2}} \) = | a |

매우 중요한 성질이니까, 이제부터는 반드시 외워 두어야 합니다.

      ─────────────

            \(\sqrt {{a^2}} \) = | a |

      ─────────────

관련된 문제를 하나 풀어 볼까요?

─────────────────────────

 a < 0 이고, b < a 일 때,

 \(\sqrt {9{a^2}} \) + \(\sqrt {4{{(b - a)}^2}} \) – \(\sqrt {{{( - a)}^2}} \) 을

 간단히 하여라.

─────────────────────────

(1) 우선, \(\sqrt {{{(A)}^2}} \) 의 형태로 바꾸어야 하겠지요?

             \(\sqrt {9{a^2}} \) + \(\sqrt {4{{(b - a)}^2}} \) – \(\sqrt {{{( - a)}^2}} \)

         = \(\sqrt {{{(3a)}^2}} \) + \(\sqrt {{{\{ 2(b - a)\} }^2}} \) – \(\sqrt {{{( - a)}^2}} \)

(2) 이제, \(\sqrt {{a^2}} \) = | a |을 이용해야 하겠지요?

       = | 3a | + | 2(b – a) | – | – a |

(3) 절대값 안의 부호에 따라 계산하면,

       = – 3a – 2(b – a) – ( – a )

       = – 3a – 2b + 2a + a

       = – 2b