곱셈공식(2) 곱셈공식의 변형

곱셈공식의 변형

various forms of polynomial expansion

"변형공식들도 기억해두면 좋아요"

" To memorize transformed polynomial expansions

should be very helpful "

앞에서 배운 곱셈공식은 [근과 계수와의 관계]나 [대칭식] 등의 문제를 풀 때, 여러 가지로 변형시키면서 활용할 수가 있습니다.

이 변형 공식들 역시, 그 원리들을 철저히 복습하고 다양한 유형의 문제들을 해결할 수 있도록 잘 외워 두어야만 합니다.

상위수준의 어려운 심화수학도 기본적인 원리나 공식에 대한 암기의 기초 위에서 출발한다는 점을 명심하고, 확실하게 이해하고 기억해 두기 바랍니다.

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우선 문제를 하나 볼까요?

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 이차방정식 x² + x + 1 = 0 의 두 근을 α, β 라 할 때,

 α² + β²의 값을 구하여라.

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이런 유형의 문제를 풀 때, 지난번에 배웠던 곱셈공식 (a + b)² = a² + 2ab + b² 을 변형시켜서 이용하면 아주 편리하게 계산할 수 있습니다.

위의 곱셈공식을 변형하면 a² + b² = (a + b)² – 2ab 이지요?

이제, 이것을 이용해서 문제를 풀어 보도록 합시다.

(1) 이차방정식의 [근과 계수와의 관계]에서, α + β = – 1 이고 αβ = 1 이니까,

(2) 변형 공식에 이 값들을 대입하면, α² + β²= (α + β)² – 2αβ

      따라서, (– 1)² – 2 * 1 = – 1.



이 변형 공식은 두 수의 합과 곱이 주어지고, 두 수 제곱들의 합을 알아내는 데 아주 편리한 공식입니다.

이번에는 대칭식에서 활용되는 예를 하나 풀어 볼까요?

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 x + y = 2 이고,  xy = – 3 이라 할 때,

 3x² – xy + 3y² 의 값을 구하여라.

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위에 주어진 식과 같이 x 와 y 의 자리를 서로 바꾸어도, 식의 모양이 변하지 않는 형태의 식을 대칭식이라 합니다.

이런 대칭식의 구조 형태는 x + y 와 xy 만으로 식을 쉽게 변형시킬 수가 있고,

그 다음에 x + y 와 xy 의 값을 대입하면, 간단하게 식의 값을 구할 수가 있습니다.

(1) 3x² – xy + 3y² = 3(x² + y²) – xy 이니까,

     변형공식을 이용하면,

    = 3{ (x + y)² – 2xy } – xy

(2) 따라서, = 3(x + y)² – 7xy 이므로,

     x + y 와 xy 의 값을 대입하면,

     3 * (2)² – 7 * (– 3) = 33

이제, 주요 변형식들을 공식으로 정리해 볼까요?

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 (1) a² + b² = (a + b)² – 2ab

 (2) a² + b² = (a – b)² + 2ab

 (3) (a + b)² = (a – b)² + 4ab

 (4) ab = (1/4) * { (a + b)² – (a – b)² }

 (5) a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)

 (6) a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b)

 (7) (a + b + c) (a² + b² + c² – ab – bc – ca)

       = (1/2) * (a + b + c) { (a – b)² + (b – c)² + (c – a)² }

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위의 (7)번의 변형공식은 심화유형에서 수시로 등장합니다.

원리를 이해한 후, 반드시 외워 두기 바랍니다.

  a² + b² + c² – ab – bc – ca

= (1/2) * (2a² + 2b² + 2c² – 2ab –2bc – 2ca)

= (1/2) * (a² – 2ab + b² + b² –2bc + c² + c² – 2ca + a²)

= (1/2) * { (a – b)² + (b – c)² + (c – a)² }

따라서,

(a + b + c) (a² + b² + c² – ab – bc – ca)

= (1/2) (a + b + c) { (a – b)² + (b – c)² + (c – a)² }

그러면 이제, 확인 문제를 한번 풀어 볼까요?

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 이차방정식 x² + 3x + 1 = 0 의 두 근을

 α, β 라 할 때, α² – β² 의 값을 구하여라.

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