이차방정식(1) 이차방정식

이차방정식

quadratic equations

"수학적 사고를 향상시키고, 현실의 많은 문제를 해결할 수 있지요"

" necessary tools for enhancing mathematical thinking

& solving real-world problems "

표준교과 기준으로 중3과 고1 시기에 배우는 이차방정식과 이차함수는 고등수학의 가장 기본적인 기초를 다지는 매우 중요한 단원입니다.

중3 과정의 이차 방정식을 심화부분까지 공부해 둔다면 고1 수준까지의 선행도 어느 정도 해 두는 효과가 있으니, 고등수학의 공부가 훨씬 수월해 집니다.

기초적인 개념을 확실하게 이해한 다음에는, 다소 어려운 심화 유형까지도 시간과 노력을 기울여, 상위 수학 수준의 응용력도 배양해 두기 바랍니다.

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x² – 4x = 0 와 같이 x 의 최고차항이 2차인 식을 x 에 관한 이차방정식이라고 합니다.

이러한 2차 방정식은, 모든 항을 좌변에 그리고 우변을 0 으로 정리한 다음에 해결하는 것이 일반적입니다. 

이차방정식을 푸는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 순서에 따라, 하나씩 살펴보도록 할까요?

[ A ] 인수분해 방법

앞에서 인수분해를 배운 주된 이유는, 가장 쉽고 편리한 인수분해 방법으로 이차방정식을 풀기 위해서 입니다.

그러면, 이차방정식 x² – 4x = 0 을 직접 풀어 볼까요?

좌변을 인수분해를 해주면, x (x – 4) = 0. 따라서,   [ A * B = 0 이면,  A = 0 또는 B = 0 ]

이라는 'Zero Product Property' 원리를 이용해서,  x = 0  또는  x = 4

이번에는 이차방정식 x² – 4x + 4 = 0 을 풀어 볼까요?

인수분해를 해주면, (x – 2)² = 0. 이번에는 x = 2 하나 밖에 해가 없지요?

이럴 때의 해가 이중근인데, 그 뜻을 줄여서 [중근] 이라고 합니다.

따라서, 완전제곱식으로 인수분해가 되는 이차방정식은 항상 중근을 해로 갖게 되지요.

[ B ] 완전제곱꼴의 방법

이번에는 이차방정식 x² – 4x + 2 = 0 을 완전제곱꼴을 이용해서 풀어 볼까요?

(1) 이차항과 일차항만 좌변에 남기고, 상수항은 오른쪽으로 넘겨서, 식을 다시 정리합니다.

x² – 4x = – 2

(2) 다음에, 좌변을 완전제곱식으로 만들기 위해서, 알맞는 상수항을 양변에 더해 줍니다.

  

x² – 4x + 4 = – 2 + 4

(3) 이제, 좌변을 완전제곱식으로 만들어 정리하면,

(x – 2)² = 2

따라서,  x – 2 = ± √2 이니까,

답은 x = 2 ± √2 

연습으로 하나 더 풀어 볼까요?

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 이차방정식 x² – 6x + 3 = 0 을 풀어라.

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(1) 이차항과 일차항만 좌변에 남기고, 상수항은 오른쪽으로 넘겨서 식을 다시 정리하지요?

x² – 6x = – 3

(2) 그 다음에, 좌변을 완전제곱식으로 만들기 위해서, 알맞는 상수항 9 를 양변에 더해 주어야지요?

x² – 6x + 9 = – 3 + 9

(3) 이제, 좌변을 완전제곱식으로 만들어 정리하면,

(x – 3)² = 6

따라서,  x – 3 = ± √6 이니까,

답은 x = 3 ± √6 

 

이번에는, 이차항의 계수가 2 인 경우를 풀어 볼까요?

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 이차방정식 2x² – 5x + 1 = 0 을 풀어라.

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(1) 우선, 이차항과 일차항만 좌변에 남기고, 상수항은 오른쪽으로 넘겨서 식을 다시 정리해야지요?

2x² – 5x = – 1

2{x² – (5/2)x} = – 1

(2) 그 다음에, 좌변을 완전제곱식으로 만들기 위해서 적당한 상수항 2 * (5/4)² 을 양변에 더해 주어야지요?  이 부분에서, 계산 실수를 하는 학생이 아주 많으니, 꼼꼼하게 집중력을 가지고 따라 해야 합니다.

2{x² – (5/2)x + (5/4)²} = – 1 + 2 * (5/4)²

 

(3) 이제, 좌변을 완전제곱식으로 만들어 정리해 볼까요? 이 부분에서도, 계산 실수를 하는 학생이 아주 많으니, 꼼꼼하게 집중력을 가지고 따라 해야 합니다.

2(x – 5/4)² = – 1 + 2 * (25/16)

2(x – 5/4)² = – 1 + 25/8 = 17/8

(x – 5/4)² = 17/16

x – 5/4 = ± √(17/16) = ± √17/4

따라서, x = 5/4 ± √17/4 = (5±√17)/4 

[ C ] 근의 공식

앞에서 배운 완전제곱꼴의 방법을 문자로 일반화시켜 볼까요?

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 이차방정식 ax² + bx + c = 0 을 풀어라.

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(1) 이차항과 일차항만 좌변에 남기고, 상수항은 오른쪽으로 넘겨서 식을 다시 정리해야지요?

ax² + bx = – c

a{x² + (b/a)x} = – c

(2) 그 다음에, 좌변을 완전제곱식으로 만들기 위해서 적당한 상수항 a * (b/2a)² 을 양변에 더해 주어야지요? 이 부분에서, 계산 실수를 하는 학생이 아주 많으니, 꼼꼼하게 집중력을 가지고 따라해야 합니다.

a{x² + (b/a)x} + a * (b/2a)² = – c + a * (b/2a)²

a{x² + (b/a)x + (b/2a)²} = – c + a * (b/2a)² 

(3) 이제, 좌변을 완전제곱식으로 만들어 정리할까요? 이 부분에서도, 계산 실수를 하는 학생이 아주 많으니, 꼼꼼하게 집중력을 가지고 따라 해야 합니다.

a(x² + b/2a)² = – c + b²/4a

(x + b/2a)² = – c/a + b²/4a²

(x + b/2a)² = – c/a + b²/4a² = (b² – 4ac)/4a²

x + b/2a = ± √{(b² – 4ac)/4a²} = ± √(b² – 4ac)/2a

따라서, x  = – b/2a ± √(b² – 4ac)/2a = {–b ± √(b² – 4ac)}/2a

(4) 바로 이 결과가 [근의 공식] 입니다. 기본적인 원리는 앞에서 배운 완전제곱식을 문자로 일반화시킨 것에 불과하지만, 인수분해가 되지 않는 이차방정식을 풀 때는, 반드시 공식을 외워서 적용하기 바랍니다.

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 이차방정식 ax² + bx + c = 0 의 해는,

        x = {–b ± √(b² – 4ac)}/2a

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[ D ] 짝수공식

앞에서 정리한 근의 공식은 일차항의 계수가 짝수일 때, 보다 간단하게 정리할 수가 있습니다. 같이 살펴 볼까요?

일차항의 계수가 짝수이니까, b = 2b' 라고 놓고 [근의 공식] 에 대입하면,

x = {–b ± √(b² – 4ac)}/2a

x = [–2b' ± √{(2b')² – 4ac}]/2a

x = {–2b' ± √(4b'² – 4ac)}/2a

x = {–2b' ± 2√(b'² – ac)}/2a

x = {–b' ± √(b'² – ac)}/a

실수를 줄이고, 빠른 계산을 위해서도 반드시 필요하니까, (근의) [짝수공식] 으로 정리해 놓고, [근의 공식] 과 함께 반드시 외워 두기 바랍니다.

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 이차방정식 ax² + 2b'x + c = 0 의 해는,

       x  = {–b' ± √(b'² – ac)}/a

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그럼, 예를 하나 풀어 볼까요?

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 이차방정식 2x² – 6x + 1 = 0 을 풀어라.

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그대로 짝수공식에 대입하면,

 x = [– (–3) ± √{(–3)² – 2*1}] / 2

x = {3 ± √(9 – 2)} / 2 = (3±√7)/2

초등학교 시절에, 구구단을 외워 두지 않고서는 곱셈과 같은 계산을 하기가 매우 어렵던 것과 같이, 중고등 수학에서는, [근의 공식]과 [짝수공식]을 외워 두지 않고서는, 인수분해가 되지 않는 이차방정식을 해결하기가 매우 어렵다는 점을 반드시 명심하기 바랍니다.