집합(3) 집합 원소의 개수

집합 원소의 개수

number of elements in a set

"중복된 공통부분은 빼주어야지요"

" subtract common elements that were counted twice "

원소의 개수는 집합 단원에서 합집합과 교집합의 혼합된 개념을 잘 이해해야 하는 가장 기본적인 기초적인 개념입니다만,

중 2 와 고 2 의 [경우의 수와 확률] 단원 및 고 1 의 [집합과 명제] 단원을 연계해서 혼합된 현태의 응용문제가 자주 등장하는 개념이기도 합니다.

특히, 심화수준의 문제들에서는, 전체의 경우의 수에서 특정조건을 만족하지 않는 반대의 경우를 빼주는, 여집합의 개념과 함께 해결해야 하는 복잡한 유형도 출제됩니다.

기본개념과 공식 정도는 암기해 두어야, 빠른 시간 내에 쉽게 문제를 해결할 수 있습니다.

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앞에서, 집합A = {a, b, c} 의 원소의 개수를n (A) = 3 으로 표현한다고 했습니다. 그러면 집합 C = {b, c, e, f} 라 할 때, n (A∪C) 는 어떻게 계산할까요?

집합 사이의 관계를 시각적으로 아주 잘 보여 주는 벤 다이어그램 (Venn diagram) 을 이용해서 알아 보도록 하지요.

 

위 그림에서 보듯이, n(A∪C) 는 단순히 n (A) + n (C) 가 아니라, 중복해서 두 번 더해지는, 빨간색으로 표시된 A∩C = {b, c} 만큼을 다시 빼 주어야 합니다.

n (A∪C)

= n (A) + n (C) – n (A∩C)

= 3 + 4 – 2

= 5

이 원리는 집합의 개수를 늘려나가면 상당히 복잡합니다. 벤 다이어그램에서 집합을 3 개로 확장해서 아래와 같이 그려 보면 되겠죠? 고등수학 과정에서는 3 개의 수준까지는 외워 두어야 됩니다.

이번에도 위 그림에서 보듯이, n (A∪C∪D) 는 단순하게 n (A) + n (C) + n (D) 가 아니라,

(1) 중복해서 두 번 더해진, n (A∩C), n (C∩D) 와 n (D∩A) 를 각각 빼 주어야지요.

(2) 그런데, 이렇게 3 번을 빼주다 보면, A∩C∩D = {b, c} 는 3 번씩이나 빠졌으니까, 다시 한 번은 도로 더해 주어야 합니다.

n (A∪C∪D)

= n (A) + n (C) + n (D)

– n (A∩C) – n (C∩D) – n (D∩A)

+ n (A∩C∩D) 

= 5 + 6 + 5 – 3 – 3 – 3 + 2

= 9

그럼, 공부한 내용을 일반식으로 정리해 볼까요?

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n (A∪C∪D)

= n (A) + n (C) + n (D)

– n (A∩C) – n (C∩D) – n (D∩A)

+ n (A∩C∩D) 

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이 개념이 어떻게 활용되는지, 예를 한번 볼까요?

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100 미만의 자연수 중에서 2 또는 3 또는 5 의 배수인 자연수의 개수를 구하여라.

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(1) 위에서 정리했던 '합집합 원소의 개수' 의 개념을 확실하게 이해했다면, 그대로 공식을 대입하면 되겠지요?

(2) 교집합의 개념을 이용하면, 2 와 3 의 공배수는 6 의 배수이므로 n (2 ∩ 3) = n (6) 이고, 같은 방법으로 아래의 공배수들이 성립합니다.

n (2 ∩ 5)        =  n (10)

n (3 ∩ 5)        =  n (15)

n (2 ∩ 3 ∩ 5) =  n (30)

(3) 따라서, 이를 대입하여 정리하면,

n (2∪3∪5)

= n (2) + n (3) + n (5)
– n (6) – n (15) – n (10)
+ n (30)

= 49 + 33 +19 – 16 – 6 – 9 + 3

= 73

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