행렬(4) AB = BA인 행렬

AB=BA인 행렬

finding a matrix B such that AB = BA

"AB = BA만 성립한다면 행렬계산이 너무 쉽지요"

" matrix operation becomes quite easy

only if AB = BA "

  

원래 행렬을 배우는 표준 수학의 본질에서는 다소 벗어나 있지만, 우리나라 고 3 의 수능이나 모의고사 문제에서는, 행렬의 연산에서 지나치게 어려운 유형이나 진위 유형이 자주 출제됩니다.

[행렬의 연산] 단원의 심화유형 문제에서, AB = BA 를 만족하는지만 알아낼 수 있다면, 곱셈공식과 인수분해 공식을 자유롭게 사용할 수 있으니까, 아주 편리합니다.

실전문제에서 아주 유용한 방법이니까, 철저하게 이해하고 응용하는 방법을 익혀두기 바랍니다.

현재 고 1부터는 이 [행렬] 단원을 개정된 표준교과에 따라, 배우지 않습니다만, 심화유형의 수열이나 벡터에서는 행렬의 기본개념이 필요하다는 점도 알아 두기 바랍니다.

이 [행렬] 단원은 구 고등과정 교과표준에 따라 (2×2) 행렬을 기준으로 설명합니다.

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앞에서 두 행렬의 곱, AB 와 BA 는 서로 같지 않다는 것을 배웠습니다. 그래서 행렬의 곱이 포함된 연산은 너무 어렵지요?

AB = BA 만 성립한다면 얼마나 좋을까요? 우리가 익히 알고 있는 곱셈공식과 인수분해 공식을 맘대로 사용할 수 있을 테니까요.

그러면 여기서, 실수에서와 같이 우리가 마음대로 연산할 수 있도록 하는 AB = BA 가 성립하는 행렬 B 에는 도대체 어떤 것들이 있는지를 조사해 볼까요?

(1) 단위행렬 (identity matrix)

AE = EA, AE² = E²A, AE^-1 = E^-1A, ...

(2) 행렬 A 와 그 패밀리 (matrix A itself and its family)

AA² = A²A, AA³ = A³A, AA^-2 = A^-2A, ...

따라서, 행렬 B 가 위에서 알아낸 두 가지 종류의 덧셈과 뺄셈으로 이루어져 있다면, 곱셈의 교환법칙이 성립하겠지요? 그러면 일반화시켜서, 정리해 볼까요?

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행렬 B = p A^m + q A^–n+ r E 일 때는, 항상 AB = BA 가 성립한다.

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이 내용은 심화유형의 행렬의 연산이나 진위문제에서, 아주 편리하게 활용되니까, 상위 수준의 고등학생이라면, 반드시 외워 두고 응용력을 키워두기 바랍니다.

예를 하나 볼까요?

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두 행렬 A, B 가 아래의 두 조건식을 만족할 때, A³ + B³ 을 단위행렬 만으로 간단히 나타내어라.

A + B = E (I₂)  ⋯ ①

AB = 2E (2I₂)  ⋯ ②

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(1) 우선 ① 식을 B 를 주어로 바꾸면, B = – A + E 이니까, 위에서 알아낸 대로

      AB = BA 가 성립하지요?

(2) 따라서, 곱셈공식을 맘대로 사용해도 되겠지요?

     곱셈공식의 변형 방법으로 계산하면,

A³ + B³

= (A + B)³ – 3AB(A + B)

(3) 이제, 변형식에 주어진 ①, ② 식을 대입하면,

  

= E³ – 3 x 2E x E

= – 5E

한 문제만, 더 풀어 보도록 할까요?

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역행렬을 갖는 두 행렬 A, B 가 A + B = 3E 를 만족할 때, 아래의 등식이 참인지 거짓인지를 판별하여라.

(AB)²⁰ = A²⁰ x B²⁰

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(1) 우선, B 를 주어로 바꾸어 보면 B = 3A^–1 이니까, AB = BA 가 성립하지요?

(2) 따라서, (AB)²⁰ 을 전개한 다음, AB = BA 를 아래와 같이 계속 바꾸어 나가면

     참이 되는 것을 알 수 있습니다.

(AB)²⁰

= AB x AB x AB x AB x ⋯

= A x AB x AB x AB x ⋯

= AA x AB x BA x BA x ⋯

= A²⁰ x B²⁰

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4. 수열의 합

수열의 합

series

" Σ 기호를 사용하니까

합 표시가 너무 편리해요"

" it's very compact to use Σ notation "

수열은 순서대로 나열된 숫자들의 공통된 규칙을 찾아내는 마치 게임과도 같은 재미있는 단원입니다.

영리한 학생들은 초등산수 시절부터 나열된 항 사이의 계차로 쉽게 그 규칙성을 찾아내기도 하지만, 부분분수나 군수열 등 조금 더 어려운 유형들을 해결하려면 기본적인 유형들에 대한 어느 정도의 해법 암기도 필요합니다.

이번에는 수열의 정의와 사용되는 기호 등의 가장 기초가 되는 내용들을 설명하려고 합니다. 첫 단계부터 기초 개념과 원리을 확실하게 이해해 두기 바랍니다.

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지난번에, 짝수들의 수열 2, 4, 6, 8, 10, ... 의 제 n 번째 항은 a_n = 2n 이라고 표현한다는 것을 배웠습니다.

이제, 수열들의 제 n 번째 항까지의 합인 2 + 4 + 6 + ... + 2n 은 기호로 S_n 이라고 나타냅니다.

일반화해서 문자로 나타낸다면, 무한개의 항을 갖는 수열 { a_n } 에 대하여 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

{ a_n } = a₁, a₂, a₃, ... ,a_n, ...

S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n = \(\sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}} \)

S = a₁ + a₂ + ... + a_n + ... = \(\sum\limits_{k = 1}^\infty  {{a_k}} \)

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S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n = (^k=1∑_n​) a_k​

\(\sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}} \)

S = a₁ + a₂ + ... + a_n + ... = lim_x→∞

\(\sum\limits_{k = 1}^\infty  {{a_k}} \)

시그마 기호를 사용하여 수열의 합을 나타내는 일반적인 형태는 다음과 같습니다.

$$\sum _{k=m}^n{a}_k$$

이 기호는 "$k=m$부터 $n$까지 $a_k$를 모두 더하라"는 의미를 담고 있습니다. 각 구성 요소의 역할은 다음과 같습니다:

1. $\Sigma$ (시그마): 합을 구하라는 명령을 나타냅니다.

2. $k$ (변수): 수열의 항 번호(인덱스)로 사용되는 변수입니다. 일반적으로 $k$, $i$, $j$ 등을 사용합니다.

3. $m$ (아래 첨자): 합을 시작하는 항의 번호입니다. 시작점을 나타냅니다.

4. $n$ (위 첨자): 합을 끝내는 항의 번호입니다. 끝점을 나타냅니다.

5. $a_k$ (일반항): 변수 $k$에 대한 식으로, 더할 대상인 수열의 일반항을 나타냅니다.

예시:

$$\sum _{k=1}^5(2k)$$

• 의미: $k$에 1부터 5까지 순서대로 대입한 $(2k)$ 값들을 모두 더하라는 뜻입니다.

• 풀이: $(2\times 1)+(2\times 2)+(2\times 3)+(2\times 4)+(2\times 5)$ $=2+4+6+8+10=30$

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그러면 위와 같이, 수열의 합을 간단하게 표현할 때 아주 유용하게 쓰이는 Σ (씨그마, sigma) 기호에 대하여 알아 보도록 합니다.

예를 들어, 1 + 2 + 3 + ... + 100 과 같이 일정한 규칙으로 더해지는 수열의 합은 Σ 기호를 사용해서 아주 간단하게 표현할 수 있습니다.

1 + 2 + 3 + ... + 100 = \(\sum\limits_{k = 1}^{100} k \)

(1) Σ 기호의 아래 부분에는 위의 예에서의 k = 1 과 같이, 변수 k 와 시작하는 값 1 을 작은 글씨로 적습니다

(2) Σ 기호의 윗 부분에는 위의 예와 같이, 변수 k 가 끝나는 값 100 을 작은 글씨로 적습니다. 만일 무한수열이라면 ∞ 로 표시하면 됩니다.

(3) Σ 기호의 오른쪽에는 더해야 하는 식이나 값을, 변수 k 로 나타내서 보통 크기로 적습니다. 이 때, 변수는 i, n, p ... 등의 다른 문자를 사용해도 됩니다.

Σ 기호의 사용에 익숙해질 수 있도록, 보기 문제들을 풀어 보도록 할까요?

(1) \(\sum\limits_{k = 2}^{17} {{k^2}} \) = 2² + 3² + ... + 17²

(2) \(\sum\limits_{n = 1}^{15} {3n} \) = (3 x 1) + (3 x 2) + ... + (3 x 15)

(3) \(\sum\limits_{i = 1}^{20} 2 \) = 2 + 2 + 2 + ... + 2 = 2 x 20 = 40

이제는 반대로, 수열의 합으로 표시된 것을 Σ 기호로 나타내 보도록 할까요?

(1) 1 + 4 + 7 + 10 + ... + 61 = \(\sum\limits_{n = 1}^{21} {(3n - 2)} \)

(2) 2 + 4 + 8 + 16 + ... = \(\sum\limits_{k = 1}^\infty  {{2^k}} \)

(3) 1 x 2 + 3 x 4 + ... + 19 x 20 = \(\sum\limits_{p = 1}^{19} {p(p + 1)} \)

이번에는 Σ 기호의 성질에 대하여 공부해 보도록 합니다.

(1) \(\sum\limits_{k = 1}^{20} {(k + {k^2})} \)

= (1 + 1²) + (2 + 2²) +(3 + 3²) + ... + (20 + 20²)

= ( 1 + 2 + 3 + ... + 20) + (1² + 2² + 3² + ... + 20²)

= \(\sum\limits_{k = 1}^{20} k \) + \(\sum\limits_{k = 1}^{20} {{k^2}} \)

(2) \(\sum\limits_{k = 1}^{20} {3k} \)

= 3 x 1 + 3 x 2 + 3 x 3 + ... + 3 x 20

= 3 x ( 1 + 2 + 3 + ... + 20)

= 3\(\sum\limits_{k = 1}^{20} k \)

(3) \(\sum\limits_{k = 1}^n 3 \)

= 3 + 3 + 3 + ... + 3

= 3n

위에서 살펴 보았던 기호 Σ 의 성질을 일반화해서 아래와 같이 정리해 두도록 할까요?

---

(1) \(\sum\limits_{k = 1}^n {({a_k} + {b_k})}  = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}}  + \sum\limits_{k = 1}^n {{b_k}} \)

(2) \(\sum\limits_{k = 1}^n {(p \times {a_k})}  = p \times \sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}} \)

(3) \(\sum\limits_{k = 1}^n c  = c \times n\)

---

따라서, 이러한 Σ 의 성질을 이용하면, 복잡한 수열의 합도 아래와 같이 간단하게 계산해 낼 수가 있습니다.

\(\sum\limits_{k = 1}^n {(2{k^2} - 3k + 4)}  = 2\sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}}  - 3\sum\limits_{k = 1}^n k  + 4n\)

참고로 제 n 항까지의 (1) 자연수, (2) 자연수의 제곱 및 (3) 자연수의 세제곱들의 합의 공식은 아래와 같습니다. 이를 구하는 원리는 다음에 따로 설명하도록 합니다.

\(\sum\limits_{k = 1}^n k  = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)

\(\sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}}  = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\)

\(\sum\limits_{k = 1}^n {{k^3}}  = {\left\{ {\frac{{n(n + 1)}}{2}} \right\}^2}\)

마지막으로, 수열의 합 S_n 과 일반항 a_n 의 관계에 대하여 알아 보도록 할까요?

S_n = a₁ + a₂ + ... + a_{n -1} + a_n ... ①

S_{n -1} = a₁ + a₂ + ... + a_{n -1}    ... ②

이제, 연립방정식과 같이 윗식에서 아래식을 빼주면,

[가감법]  ① – ② :

S_n – S_{n -1} = a_n ( n ≥ 2 )

이 식은 앞으로 배우게 될, 여러가지 수열의 점화식 등에서 활용되는 매우 중요한 일반항 유도 공식이니까, 반드시 기억해 두기 바랍니다.

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2. 지적인 성장은 오직 고독 속에서

지적인 성장은 오직 고독속에서

intellectual work demands solitude

"문제가 안풀리더라도
끙끙거린만큼 수학실력이 늘어요"

‘ … 지적인 성장은 오직 고독 속에서 이루어진다 … ’ 프랑스 철학적 문학가 사르뜨르의 말입니다.

어느 공부나 마찬가지이겠지만 특히 수학공부는 우리 내면에 잠재되어 있는 이성의 힘을 키우고 활용해야 하기 때문에, 한 단계 도약하기 위하여는 반드시 혼자서 며칠이라도 끙끙거리며 해결하는 과정을 필요로 합니다.

예를 들어, 일주일간 수학 한 문제를 풀기 위해 애를 쓰고 고민을 거듭했다면, 설사 그 문제가 풀리지 않더라도 집중력을 가지고 문제해결을 위해 노력하는 과정에서 이미 수학실력은 일취월장하게 됩니다.

설사 그 문제의 답을 구하지 못했더라도, 그 일주일 동안 해결해 내느라고 노력하는 과정에서 자신이 갖고 있는 수학지식을 아주 효과적으로 복습하고 재정리하는 과정을 갖게 됩니다.

문제를 풀어내려고 애쓰는 일주일간에 관련되었을 것이라고 추정되는 수학 단원들의 이론이나 공식 또는 예제유형들을 얼마나 많이 기억해내고 동원해 내려고 끙끙거렸겠습니까? 세상에 이보다 더 좋은 복습방법은 없을 것입니다.

수학 우등생들은 저마다, 심화수학 몇 문제를 아예 머리 속에 외워 두고는 몇 일 동안이나 풀어내려고 끙끙거리다가, 어느 날 갑자기 마치 기적과도 같이 해결되는 기쁨을 맛보았던 경험을 적어도 한두 번씩은 다들 갖고 있습니다.

어려운 문제를 해결했을 때의 그 기쁨과 환희 … 그리고 솟아나는 자신감 …

물론 대부분의 학생들에겐 공부해야 하는 수학의 내용이 너무 많고 절대적으로 시간이 부족한 실정이라 안타깝게도 모든 심화 문제를 이렇게 공부할 수는 없는 노릇이라고 항변할지도 모르겠습니다만,

수학적 개념이 단단해지고 스스로 생각하는 힘이 강해질수록, 수많은 여러 개의 다른 유형으로 보였던 수학문제들이 하나의 개념과 이론만을 갖고서도 풀어낼 수 있는 간단한 유형의 문제로 보이기 시작합니다.

적어도 일주일에 한 두 문제는 이렇게 스스로 혼자만의 힘으로 고민해 보아야, 수학실력과 자신감이 빠르게 좋아집니다. 그리고 수학실력이 한 단계씩 도약하면 할수록 기계적으로 문제만 푸는 식의 낭비하는 시간을 줄일 수 있어 훨씬 효율적으로 공부해 나갈 수 있습니다.

이는 상위권 우등생에게만 해당되는 것이 아닙니다. 설사 남들에게는 쉬운 아주 기본적인 유형의 문제라도, 부족한 나에게는 오히려 좋은 심화문제가 되는 것입니다.

(1) 필수유형이라고 여러 번 강조되거나 (2) 하나의 문제인데도 여러가지의 서로 다른 풀이 방법으로 연구되던 문제들 중에서 추려낸 다음에,


내가 여러 사람 앞에서 설명할 정도로 정확하게 풀어 내지 못하는 문제들이 있다면, 반드시 리스트에 올려서 나 혼자 고민하는 즐거운(?) 시간의 화두로 삼아 보기를 권합니다.



자기 수준에 맞는 좋은 문제로, 스스로 해결해 내느라고 애쓰며 고민하고 해결해 나가는 과정에서, 수학실력과 성취감, 자신감이 쑥쑥 자라나게 될 것입니다.