4. 수열의 합

수열의 합

series

" Σ 기호를 사용하니까

합 표시가 너무 편리해요"

" it's very compact to use Σ notation "

수열은 순서대로 나열된 숫자들의 공통된 규칙을 찾아내는 마치 게임과도 같은 재미있는 단원입니다.

영리한 학생들은 초등산수 시절부터 나열된 항 사이의 계차로 쉽게 그 규칙성을 찾아내기도 하지만, 부분분수나 군수열 등 조금 더 어려운 유형들을 해결하려면 기본적인 유형들에 대한 어느 정도의 해법 암기도 필요합니다.

이번에는 수열의 정의와 사용되는 기호 등의 가장 기초가 되는 내용들을 설명하려고 합니다. 첫 단계부터 기초 개념과 원리을 확실하게 이해해 두기 바랍니다.

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지난번에, 짝수들의 수열 2, 4, 6, 8, 10, ... 의 제 n 번째 항은 a_n = 2n 이라고 표현한다는 것을 배웠습니다.

이제, 수열들의 제 n 번째 항까지의 합인 2 + 4 + 6 + ... + 2n 은 기호로 S_n 이라고 나타냅니다.

일반화해서 문자로 나타낸다면, 무한개의 항을 갖는 수열 { a_n } 에 대하여 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

{ a_n } = a₁, a₂, a₃, ... ,a_n, ...

S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n = \(\sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}} \)

S = a₁ + a₂ + ... + a_n + ... = \(\sum\limits_{k = 1}^\infty  {{a_k}} \)

그러면 위와 같이, 수열의 합을 간단하게 표현할 때 아주 유용하게 쓰이는 Σ (씨그마, sigma) 기호에 대하여 알아 보도록 합니다.

예를 들어, 1 + 2 + 3 + ... + 100 과 같이 일정한 규칙으로 더해지는 수열의 합은 Σ 기호를 사용해서 아주 간단하게 표현할 수 있습니다.

1 + 2 + 3 + ... + 100 = \(\sum\limits_{k = 1}^{100} k \)

(1) Σ 기호의 아래 부분에는 위의 예에서의 k = 1 과 같이, 변수 k 와 시작하는 값 1 을 작은 글씨로 적습니다

(2) Σ 기호의 윗 부분에는 위의 예와 같이, 변수 k 가 끝나는 값 100 을 작은 글씨로 적습니다. 만일 무한수열이라면 ∞ 로 표시하면 됩니다.

(3) Σ 기호의 오른쪽에는 더해야 하는 식이나 값을, 변수 k 로 나타내서 보통 크기로 적습니다. 이 때, 변수는 i, n, p ... 등의 다른 문자를 사용해도 됩니다.

Σ 기호의 사용에 익숙해질 수 있도록, 보기 문제들을 풀어 보도록 할까요?

(1) \(\sum\limits_{k = 2}^{17} {{k^2}} \) = 2² + 3² + ... + 17²

(2) \(\sum\limits_{n = 1}^{15} {3n} \) = (3 x 1) + (3 x 2) + ... + (3 x 15)

(3) \(\sum\limits_{i = 1}^{20} 2 \) = 2 + 2 + 2 + ... + 2 = 2 x 20 = 40

이제는 반대로, 수열의 합으로 표시된 것을 Σ 기호로 나타내 보도록 할까요?

(1) 1 + 4 + 7 + 10 + ... + 61 = \(\sum\limits_{n = 1}^{21} {(3n - 2)} \)

(2) 2 + 4 + 8 + 16 + ... = \(\sum\limits_{k = 1}^\infty  {{2^k}} \)

(3) 1 x 2 + 3 x 4 + ... + 19 x 20 = \(\sum\limits_{p = 1}^{19} {p(p + 1)} \)

이번에는 Σ 기호의 성질에 대하여 공부해 보도록 합니다.

(1) \(\sum\limits_{k = 1}^{20} {(k + {k^2})} \)

= (1 + 1²) + (2 + 2²) +(3 + 3²) + ... + (20 + 20²)

= ( 1 + 2 + 3 + ... + 20) + (1² + 2² + 3² + ... + 20²)

= \(\sum\limits_{k = 1}^{20} k \) + \(\sum\limits_{k = 1}^{20} {{k^2}} \)

(2) \(\sum\limits_{k = 1}^{20} {3k} \)

= 3 x 1 + 3 x 2 + 3 x 3 + ... + 3 x 20

= 3 x ( 1 + 2 + 3 + ... + 20)

= 3\(\sum\limits_{k = 1}^{20} k \)

(3) \(\sum\limits_{k = 1}^n 3 \)

= 3 + 3 + 3 + ... + 3

= 3n

위에서 살펴 보았던 기호 Σ 의 성질을 일반화해서 아래와 같이 정리해 두도록 할까요?

---

(1) \(\sum\limits_{k = 1}^n {({a_k} + {b_k})}  = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}}  + \sum\limits_{k = 1}^n {{b_k}} \)

(2) \(\sum\limits_{k = 1}^n {(p \times {a_k})}  = p \times \sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}} \)

(3) \(\sum\limits_{k = 1}^n c  = c \times n\)

---

따라서, 이러한 Σ 의 성질을 이용하면, 복잡한 수열의 합도 아래와 같이 간단하게 계산해 낼 수가 있습니다.

\(\sum\limits_{k = 1}^n {(2{k^2} - 3k + 4)}  = 2\sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}}  - 3\sum\limits_{k = 1}^n k  + 4n\)

참고로 제 n 항까지의 (1) 자연수, (2) 자연수의 제곱 및 (3) 자연수의 세제곱들의 합의 공식은 아래와 같습니다. 이를 구하는 원리는 다음에 따로 설명하도록 합니다.

\(\sum\limits_{k = 1}^n k  = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)

\(\sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}}  = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\)

\(\sum\limits_{k = 1}^n {{k^3}}  = {\left\{ {\frac{{n(n + 1)}}{2}} \right\}^2}\)

마지막으로, 수열의 합 S_n 과 일반항 a_n 의 관계에 대하여 알아 보도록 할까요?

S_n = a₁ + a₂ + ... + a_{n -1} + a_n ... ①

S_{n -1} = a₁ + a₂ + ... + a_{n -1}    ... ②

이제, 연립방정식과 같이 윗식에서 아래식을 빼주면,

[가감법]  ① – ② :

S_n – S_{n -1} = a_n ( n ≥ 2 )

이 식은 앞으로 배우게 될, 여러가지 수열의 점화식 등에서 활용되는 매우 중요한 일반항 유도 공식이니까, 반드시 기억해 두기 바랍니다.

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영어번역을 함께 보시려면, 아래의 링크를 눌러주세요.

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http://jaymathbee.blogspot.kr

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