곱셈공식의 변형
various forms of polynomial expansion
"변형공식들도 기억해두면 좋아요"
" To memorize transformed polynomial expansions
should be very helpful "
앞에서 배운 곱셈공식은 [근과 계수와의 관계]나 [대칭식] 등의 문제를 풀 때, 여러 가지로 변형시키면서 활용할 수가 있습니다.
이 변형 공식들 역시, 그
원리들을 철저히 복습하고 다양한 유형의 문제들을 해결할 수 있도록 잘 외워 두어야만 합니다.
상위수준의 어려운 심화수학도
기본적인 원리나 공식에 대한 암기의 기초 위에서 출발한다는 점을 명심하고, 확실하게 이해하고 기억해
두기 바랍니다.
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우선 문제를 하나 볼까요?
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이차방정식 x² + x + 1 = 0 의 두 근을 α,
β 라 할 때,
α² + β²의 값을 구하여라.
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이런 유형의 문제를
풀 때, 지난번에 배웠던 곱셈공식 (a + b)² = a² + 2ab +
b² 을 변형시켜서 이용하면 아주 편리하게 계산할 수 있습니다.
위의 곱셈공식을 변형하면 a² + b² = (a + b)² – 2ab 이지요?
이제, 이것을 이용해서 문제를 풀어 보도록 합시다.
(1) 이차방정식의 [근과 계수와의 관계]에서, α + β = –
1 이고 αβ = 1 이니까,
(2) 변형 공식에 이 값들을 대입하면, α² + β²= (α + β)² – 2αβ
따라서, (– 1)2 – 2 * 1 = – 1.
이 변형 공식은 두 수의 합과 곱이 주어지고, 두 수 제곱들의 합을 알아내는 데 아주 편리한 공식입니다.
이 변형 공식은 두 수의 합과 곱이 주어지고, 두 수 제곱들의 합을 알아내는 데 아주 편리한 공식입니다.
이번에는 대칭식에서 활용되는
예를 하나 풀어 볼까요?
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x
+ y = 2 이고, xy =
– 3 이라 할 때,
3x² – xy + 3y²
의 값을 구하여라.
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위에 주어진 식과 같이 x
와
y 의 자리를 서로 바꾸어도, 식의 모양이 변하지 않는 형태의 식을 대칭식이라
합니다.
이런 대칭식의 구조 형태는 x
+ y 와 xy 만으로 식을 쉽게 변형시킬 수가 있고,
그 다음에 x
+ y 와 xy 의 값을 대입하면, 간단하게 식의 값을 구할 수가 있습니다.
(1) 3x²
– xy + 3y² = 3(x² + y²) – xy 이니까,
변형공식을 이용하면,
= 3{ (x
+ y)² –
2xy } – xy
(2) 따라서, = 3(x + y)² – 7xy 이므로,
x
+ y 와 xy 의 값을 대입하면,
3 * (2)² – 7 * (– 3) = 33
이제, 주요 변형식들을 공식으로 정리해 볼까요?
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(1) a² + b² = (a + b)² – 2ab
(2) a² + b² = (a – b)² + 2ab
(3) (a + b)² = (a – b)² + 4ab
(4) ab =
(1/4) * {
(a + b)² – (a – b)² }
(5) a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a
+ b)
(6) a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a
– b)
(7) (a + b + c) (a² + b² + c² – ab – bc – ca)
= (1/2) * (a + b + c)
{ (a – b)² + (b – c)² + (c
– a)² }
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위의 (7)번의
변형공식은 심화유형에서 수시로 등장합니다.
원리를 이해한 후, 반드시 외워 두기 바랍니다.
a²
+ b² + c² –
ab – bc – ca
= (1/2) * (2a²
+ 2b² + 2c² – 2ab –2bc – 2ca)
= (1/2) * (a²
– 2ab + b² + b² –2bc + c² + c² – 2ca + a²)
= (1/2) * { (a – b)² + (b – c)² + (c
– a)² }
따라서,
(a + b
+ c) (a² + b² + c² – ab – bc – ca)
= (1/2) (a + b + c)
{ (a – b)² + (b – c)² + (c
– a)² }
그러면 이제, 확인 문제를 한번 풀어 볼까요?
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이차방정식 x² + 3x + 1 = 0 의 두 근을
α,
β 라 할 때, α² – β² 의 값을 구하여라.
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