원과 접선 및 할선 Solution 716227

Solution 716227

1. 삼각형에서 내각의 이등분선 정리

     위의 소제목에 링크된 페이지의 설명대로, 삼각형 내각의 이등분선 정리는 혼합

     된 유형의 형태로 자주 등장하니, 철저하게 이해하고 반드시 그 내용을 잘 기억해

     두시기 바랍니다.

     * 링크된 내각의 이등분선 그림에서 변 AB : 변 AC  = 변 BD : 변 DC

     Quiz 3532 문제의 그림에서 각의 이등분선이 주어졌으니까, 선분들 간의 비율을

      알아낼 수 있겠지요?

     위의 1번 소제목에 링크된 페이지에서 설명되어 있는 대로, 선분 PA : PB 의

      비율은 선분 QA : QB 의 비율과 같아요.

      그렇다면, 선분 PA : PB 의 비율은 어떻게 알아낼 수 있을까요?

2. 원의 접선과 현이 이루는 각

     위의 2번 소제목에 링크된 설명은 줄임말로 (접현각 정리) 라고 알려져 있는

     '원과 각'의 단원에서 배우는 아주 중요한 내용이지요.

    이제, 원의 접선과 현이 이루는 각과 그 현에 대한 원주각은 서로 같다는 뜻인

    줄임말로 (접현각 정리)를 잘 이해하고 기억해 두기를 바랍니다.

3. 닮은꼴의 삼각형 찾아내기

    위의 2번 소제목에 링크된 설명을 읽고, 삼각형의 세 가지 닮음조건인 SSS, SAS

    그리고 AA 닮음을 잘 이해하셨나요?

    (1) 바로 위의 2번 설명(접현각 정리)에 따라서, ∠PAC 와 ∠PBA 가 서로 같고

    (2) 주어진 문제의 조건에서 ∠APD 와 ∠BPQ 가 서로 같으므로,

    ΔPCA 와 ΔPAB 는 즉 대응각 두 개가 서로 같은 [AA 닮음]이 되지요.

   이제 서로  닮은 이 두 삼각형에서, 대응변을 살펴보면 선분 PA : PB 의 비율은

   선분 CA : AB 의 비율과 같으므로 = 10 cm : 15 cm = 2 : 3

    따라서, 선분 AQ : QB 의 비율도 2 : 3 이므로 선분 AQ 의 길이는

    15 (cm) * 2 / (2 + 3) = 6 (cm)

 

 

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Answer  716227

  6 cm

제곱근(10) 제곱근값 구하기

제곱근값 구하기

calculate square roots

"부등식을 이용한 제곱근 근사값 계산은

응용력을 키우는 데 아주 좋아요"

" ‘guess & check’ method of finding square root

is very helpful to foster flexible thinking "

이번에는, 계산기의 도움 없이 수작업으로 제곱근의 값을 계산하는 방법을 배워 보도록 합니다.

물론 대부분의 수학책은 제곱근표를 후미에 포함시키고 있을 뿐만 아니라, 요즘은 누구나 전자기기의 계산기 기능을 사용하기는 합니다.

그러나, 고등수학 과정의 시험 등에서는 계산기의 도움이 없이도 대략적인 제곱근의 근사값 정도는 알아내야 하는 경우가 많습니다.

특히, 부등식을 이용한 제곱근의 근사값 계산은 상위수준의 수학을 공부하는 데 많은 응용력을 키워줄 것입니다.

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먼저, 가장 가까운 제곱수를 추정해서 √5 의 근사값을 구하는 방법을 알아 보도록 할까요?

(1) (완전) 제곱수가 √5 의 제곱인 5 에 가까운 자연수를 생각해 냅니다.

2² = 4 < √5 * √5 = 5 < 3² = 9

∴   √5 = 2.xxx

(2) 2² = 4 가 5 에 더 가까웠으니까, 2.5 보다는 작은 2.3 정도의 값으로 일단 정해서 제곱을 해 본 다음에, 5 에 가장 가까워 지도록 소수 첫째 자리를 조정해 줍니다.

(2.3)² = 5.29 > 5

(2.2)² = 4.84 < 5

2.2 < √5 < 2.3

∴   √5 = 2.2xxx

(3) 이번에는 (2.2)² = 4.84 가 5 에 더 가까웠으니까, 2.25 보다는 조금 작은 2.24 정도의 값으로 일단 정해서 제곱을 해 본 다음에, 5 에 가장 가까워지도록 소수 둘째 자리를 조정해 줍니다.

(2.24)² = 5.0176 > 5

(2.23)² = 4.9729 < 5

2.23 < √5 < 2.24

∴   √5 = 2.23xxx

(4) 이런 방법으로 계속해 나가면 √5 의 값을 보다 정확하게 계산해 낼 수 있습니다. 실제로 응용문제를 해결하는 경우에는 소수점 이하 둘째 자리까지만 근사값으로 구해 내더라도 충분합니다.

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이번에는, 손으로 마치 나눗셈을 하듯이 제곱근의 값을 구하는 방법을 알아 보도록 할까요?

앞에서 부등식을 이용한 근사값으로 구했던 √5 를 계산해서 검산해 보도록 합시다.

루트계산은 제곱의 단위로 생각해야 하니까, 십진법에서는 소수점을 기준으로 해서 10² = 100 단위로 계산해 나갑니다.

(1) 소수점을 기준으로 첫 100 단위는 5 이니까, 아래에 나타낸 나눗셈의 방법과 유사하게, 제곱수가 5 이하에서 최대가 되는 자연수 2 를 왼쪽에 수직으로 나란히, 그리고 몫의 자리에 적어 넣습니다.

(2) 5 에서 2 * 2 = 4 를 빼주고 남은 1 을, 다시 100 단위가 되는 소수점 이하 둘째 자리까지 확장해서 100 으로 놓습니다.

                          2.    2    3    6         

       2               ) 5.|0 0|0 0|0 0|0 0|

       2                 4       

       42               1.|0 0

         2                   8 4       

       443                 1 6|0 0

           3                 1 3 2 9       

       4466                  2 7 1|0 0

             6                  2 6 7 9 6       

          ⋯                          3 0 4|0 0 

(3) 위의 계산식에서, 4 의 오른쪽과 그 밑에 똑같은 숫자를 적어 넣어,

     4 [ ] * [ ] 의 곱셈을 한 결과가, 남은 100 이하에서 최대가 되도록 맞춥니다.

     맞춘 결과는 자연수 2 가 되지요?

     이제  2 를 수직으로 자릿수를 맞추어서 나란히, 그리고 몫의 자리에 적습니다.

  

(4) 다음에는, 44 의 오른쪽과 그 밑에 똑같은 숫자를 적어 넣어,

    44 [ ] * [ ] 의 곱셈을 한 결과가, 남은 1600 이하에서 최대가 되도록 맞춥니다.

     이번에 맞춘 결과는 자연수 3 이 되지요?

     같은 방법으로 3 을 수직으로 자릿수를 맞추어서 나란히, 그리고 몫의 자리에 적습니다.

 

 

(5) 이런 방법으로 계속해 나가면 √5 = 2.236 ⋯ 의 원하는 만큼의 정확한 계산 결과를 얻을 수 있습니다. 무리수이니까 당연히 끝없이 계속되겠지요?

중3 이상 또는 고등학생이라면, 제곱근표를 보거나 계산기를 쓰지 않고도, √2 와 √3 의 근사값 정도는 반드시 외워 두어야 합니다.

√2 = 1.414 ⋯

√3 = 1.732 ⋯

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원과 접선 및 할선 Quiz 716227

Geometry Quiz 716227

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Hint 1 " 각의 이등분선은 왜 주어진 것일까요? "

Hint 2 " 선분 PA : PB 의 비율을 알아낼 수 있을까요?"

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Solution & Answer 716227