연립일차방정식(4) 연립일차방정식의 응용(트랙)

연립일차방정식의 활용(트랙)

systems of linear equations word problem

- walking in the same or opposite direction

"같은방향인지 반대방향인지에 따라 식이 달라지지요"

" choose the formula depends on 'catch up' or in opposite direction "

트랙에서 같은 방향 또는 반대방향으로 도는 문제유형을 어려워하는 학생이 상당히 많습니다만,

이 유형의 문제들 역시, 그림의 이미지나 시각화된 다이어그램과 함께 이해하고 기억해 두면, 큰 어려움 없이 자신감을 가지고 해결할 수 있습니다.

고등과정에서 수학을 잘하는 우수한 학생들의 특징은, 어려운 개념을 영리하고 쉽게, 그림이나 다이어그램으로 도식화를 아주 잘한다는 점입니다.

[시간, 거리, 속력] 의 전형적인 연립방정식이므로 분수식 보다는, [거리 = 속력 × 시간] 의 곱셈 형태로 식을 세워야 분수식 계산에서의 잦은 실수를 방지할 수 있습니다. 

고등수학에서도 응용계산으로 결합되는 유형으로 자주 출제되니, 이렇게 가장 전형적인 유형들은 각각의 표준적인 해결 방법에 따라, 철저하게 원리를 이해하고 복습해 두어야 합니다.

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우선, 두 사람이 트랙을 같은 방향으로 돌 때와 반대 방향으로 돌 때에 따라, 거리 계산을 어떻게 해야 하는 것인지, 아래 그림을 통해 자세히 알아 보도록 할까요?

[1] 반대 방향으로 도는 경우

 

    반대방향으로 돌 때는, 위 그림의 출발점에서 만나는 도착지점까지

    A가 시계방향으로 걸은 빨간색 실선과 B가 시계 반대 방향으로 걸은 파란색 실선의

    합계가 호수의 둘레 길이가 된다는 것을 잘 기억해 두어야 합니다.

 따라서,

     [A의 속력 × A가 걸은 시간] + [B의 속력 × B가 걸은 시간]

  = [빨간색 실선거리] + [파란색 실선거리]

  = [호수의 둘레 길이] 가 됩니다.

[2] 같은 방향으로 도는 경우

 

  

    같은 방향으로 돌 때는, 위 그림의 출발점에서 만나는 도착지점까지

    A가 시계 반대방향으로 한 바퀴 이상 걸은 빨간색 실선과, B도 시계 반대 방향으로

    걸은 파란색 실선의 차이가 호수의 둘레 길이가 됩니다.

 따라서,

     [A의 속력 × A가 걸은 시간] – [B의 속력 × B가 걸은 시간]

  = [빨간색 실선거리] – [파란색 실선거리]

  = [호수의 둘레 길이] 가 됩니다.

그러면, 다음 문제를 풀면서 자세히 연구해 볼까요?

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 둘레의 길이가 3 Km 인 호수를, 형과 동생이 같은 지점에서

 동시에 출발하여, 반대방향으로 돌면 12 분 후에 처음으로

 만나고, 같은 방향으로 돌면 1 시간 후에 처음 만난다.

 형보다 느리게 걸은 동생의 속력을 구하여라.

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(1) 제일 먼저, 앞에서 배운 두 종류의 그림을 그리거나,

     트랙의 이미지를 머리 속에 떠올려야 하겠지요?

(2) 문제에서 주어진 시간 단위를 통일해서 식을 세워야 하겠지요?

     따라서, 속력 단위는 문제 뜻에 적합한, 분당 몇 미터의 단위로

     통일하는 것이 좋겠지요?

(3) 문제에서 묻고 있는 동생의 속력을 x m/m 라고 놓고,

     형의 속력을 y m/m 로 놓은 다음, 위의 이미지를 생각하면서

     거리를 기준으로 [거리=속력 시간]의 곱셈 형태로

     식을 세워야지요?

(4) 반대 방향으로 돌 때는, 위 그림에서 형이 걸은 빨간색 실선과,

     오른쪽으로 동생이 걸은 파란색 실선의 합계가 호수의 둘레

     길이가 되니까,

12 × x + 12 × y = 3000

(5) 같은 방향으로 돌 때는, 위 이미지에서 형이 한 바퀴가 넘게

     걸은 빨간색 실선에서, 동생이 걸은 파란색 실선을 빼주면,

     호수의 둘레길이가 되지요?   따라서,

60 × y – 60 × x = 3000

(6) 이제, 미지수가 2개인 연립방정식을 풀면,

↱  12 × x  + 12 × y = 3000   ⋯ ①

↳  60 × y  –  60 × x = 3000   ⋯ ②

[가감법] ① Χ 5 – ② :

(12×5 + 60) x = 3000×5 – 3000

120 x = 12000

따라서,  x = 100

(7) 답  :  동생의 속력은 100 m/m

이제, 확인 문제를 한번 풀어 볼까요?

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  둘레의 길이가 12 인 호수를 형과 동생이 같은 지점에서

  동시에 자전거를 타고 출발하여, 같은 방향으로 돌면 3시간

  후에 처음 만나고, 반대방향으로 돌면 45분 후에 처음으로

  만난다. 동생이 더 느리다고 할 때, 형의 속력을 구하여라.

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일차부등식(6) 절대값 일차부등식(1)

절대값 일차부등식(1)

absolute value inequalities

"그래프를 활용하니까 절대값 부등식도

이해가 너무 쉽고 잘 외워져요"

" function graph makes it easier

to solve absolute value inequalities "

절대값이 포함된 부등식도, 절대값 방정식의 경우와 같이 절대값 안의 값이 양 (+) 인지 음 (–) 인지에 따라, 경우를 나누어 계산하는 것이 표준적인 방법이지만,

기본형의 경우에는, 그래프를 이용해서 원리를 이해한 다음에, 필요할 때 그 이미지만 머리속에 떠올린다면 마치 항상 외워두고 있는 것같이 아주 쉽게 문제를 해결할 수 있습니다.

특히, 이 방법은 이차 또는 고차부등식에서 그대로 활용할 수 있는 개념이므로, 해결과정과 원리을 확실하게 이해해 두어야 합니다.

이 단원 역시 매우 중요한 내용이므로, 반드시 기본개념과 응용력을 철저히 익혀두시기 바랍니다.

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절대값 부등식 | x | < 3 을 풀어 보도록 할까요?

절대값 방정식과 함수에서 배운 것과 같이, 절대값 안의 값의 부호가 바뀌는 0 을 기준으로, 2 가지의 경우로 나누어서 푸는 것이 원칙입니다.

(A) x < 0 일 때	(B) x ≥ 0 일 때
– x < 3 ∴  (P)  – 3 < x	(Q)  x < 3

논리 다이어그램으로 보면, (A ∩ P) ∪ (B ∩ Q) 의 개념이니까,

∴  (– 3 < x < 0) ∪ (0 ≤ x < 3)

∴  – 3 < x < 3

앞의 [절대값 일차방정식] 단원에서 배웠던, 논리 다이어그램으로 보면,

(A ∩ P) ∪ (B ∩ Q) 의 개념입니다. 다시 복습이 필요한 분은 아래의 링크를 참고하세요.

http://jaymathbee.blogspot.kr

이번에는 똑같은 문제를 그래프를 이용해서 풀어 보도록 할까요?

(1) 부등식 | x | < 3 의 좌변과 우변을 각각의 함수로 간주해서 아래와 같이 좌표평면에 그래프로 나타냅니다.

y = f (x) = | x |   vs.   y = g (x) = 3

(2) 위의 그래프를 보고, 파란색의 직선인 y = f (x) = | x | 가 빨간색의 직선인 y = g (x) = 3 보다 작다고 했으니까, 위에 있는 노란색의 영역을 찾아 냅니다.

(3) x 에 관한 부등식을 푸는 것이니까, 부등식의 영역도 x 값을 기준으로 좌표평면에 표시하도록 합니다. x = ± 3 의 양 끝 경계선은 포함되지 않는다는 점에 주의하세요.

∴  – 3 < x < 3

이번에는 다른 유형의 절대값 부등식 | x | ≥ 2 을 풀어 보도록 할까요?

이번에도, 절대값 안의 값의 부호가 바뀌는 0 을 기준으로, 2 가지의 경우로 나누어서 푸는 것이 원칙입니다.

(A) x < 0 일 때	(B) x ≥ 0 일 때
– x ≥ 2	x ≥ 2

논리 다이어그램으로 보면, (A ∩ P) ∪ (B ∩ Q) 의 개념이니까,

(x ≤ – 2) ∪ ( x ≥ 2)

∴ x ≤ – 2  or  x ≥ 2

이번에도 똑같은 문제를 그래프를 이용해서 풀어 보도록 할까요?

(1) 부등식 | x | ≥ 2 의 좌변과 우변을 각각의 함수로 간주해서 아래와 같이 좌표평면에 그래프로 나타냅니다.

y = f (x) = | x |   vs.   y = g (x) = 2

(2) 위의 그래프를 보고, 파란색의 직선인 y = f (x) = | x | 가 빨간색의 직선인 y = g (x) = 2 보다 크거나 같다고 했으니까, 위에 있는 노란색의 영역을 찾아 냅니다.

(3) x 에 관한 부등식을 푸는 것이니까, 부등식의 영역도 x 값을 기준으로 좌표평면에 표시하도록 합니다. x = ± 2 의 양 끝 경계선은 포함됩니다.

∴ x ≤ – 2  or  x ≥ 2

참고로, 위의 (1) 에서 좌변과 우변의 그래프를 결정할 때, 일반적으로 많이 쓰이는 방법입니다. 부등식을 | x | – 2 ≥ 0 의 형태로 즉, 우변을 0 으로 바꾸어 줌으로써, 함수 그래프와 x 축만의 관계로 해결하는 것이 보다 편리합니다.

y = f (x) = | x | – 2   vs.   y = g (x) = 0

(1) 위의 그래프를 보고, 파란색의 직선인 y = f (x) = | x | – 2 가 빨간색으로 표시된 x 축 보다 크거나 같다고 했으니까, 위 그림에 있는 노란색의 영역을 찾는다.

(2) x 에 관한 부등식이니까, 찾은 노란색의 영역을 x 축에 대해서 x 기준으로만 읽으면, x = 2 와 x = – 2 인 경계선이 포함되니까,

∴ x ≤ – 2  or  x ≥ 2

지금의 예와 같이, 절대값 하나와 숫자만 있는 기본형의 경우에는, 그 결과를 정리하고 기억해 두면 아주 편리합니다. 문자로 일반화해서 정리해 둘까요?

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a, b 가 양수 (+) 일 때, 절대값 일차부등식의 해는

| x | < a         ☞          – a < x < a

| x | ≤ a         ☞          – a ≤ x ≤ a

| x | > b    ☞    x < – b   or   x > b

| x | ≥ b    ☞    x ≤ – b   or   x ≥ b

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이제, 이 기본형 절대값 부등식의 해결원리를 그래프의 이미지와 함께 잘 기억해 두면,

| x – 2 | ≥ 3 과 같이 변형된 문제 유형도 쉽게 해결할 수 있습니다.

x – 2 = k 로 간단하게 치환하기만 하면, | k | ≥ 3 가 되니까, 위에서 정리했던 결과를 그대로 적용하면 됩니다.

k ≤ – 3  or  k ≥ 3

∴ x – 2 ≤ – 3  or  x – 2 ≥ 3

따라서, 답은  x ≤ – 1  또는  x ≥ 5

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http://jaymathbee.blogspot.kr

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