약수와 배수(5) 약수의 개수와 합

약수의 개수와 합

the number and sum of factors

"아래 도표의 이미지를 기억하면 아주 쉬워요"

" just keep in mind

the image of the table shown below "

양 (+) 의 약수의 개수와 그 합의 문제는, 중고등과정 수학에서 수시로 등장하는 중요한 유형입니다.

중학 수학에서의 완전 제곱수 관련 문제나 고등과정에서의 수열의 합 등에서, 결합된 형태의 유형으로 자주 출제되고 있습니다.

반드시 아래에서 설명되는 도표 이미지를 기억해 두고 정확한 개념, 유도 과정과 응용력을 익혀서, 항상 활용할 수 있도록 해 두어야 합니다.

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[ A ] 양(+)의 약수의 개수 (the number of positive factors)

예를 들어, 12 의 양 (+) 의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12 이지요? 그럼 이 숫자들은 어떤 원리에서 구해지는 걸까요?

12 = 2² x 3 이니까, 아래의 표에서 보는 것과 같이, 소인수인 2 와 3 이 서로 곱해지면서 약수를 만들어 냅니다.

	20 = 1	21 = 2	22
30 = 1	1 x 1	1 x 2	1 x 22
31 = 3	3 x 1	3 x 2	3 x 22

(1) 위의 표에서 보면, 소수 2 가 곱해지는 경우의 수는 간단하게 지수 숫자의 종류로 표현한다면, 0, 1, 2 의 3 가지이고, 소수 3 이 곱해지는 경우의 수는 지수의 숫자로 0 또는 1 의 2 가지입니다.

(2) 따라서, 서로 곱해지는 전체 경우의 수는 3 x 2 = 6 가지가 됩니다. 위의 표에서, 이 원리를 자세히 들여다 보면, 각 소인수의 최고차 지수에 1 을 더한 숫자들의 곱이 된다는 것을 알 수 있습니다.

(2 + 1) x (1 + 1) = 6

이 원리를 이용해서, 이번에는 360 의 양의 약수의 개수를 구해 볼까요?

(1) 소인수분해를 해서, 지수형태의 소수들의 곱으로 바꾸면,

360 = 2³ x 3² x 5 = 2³ x 3² x 5¹

(2) 따라서, 양의 약수의 개수는

(3 + 1) x (2 + 1) x (1 + 1) = 24

[ B ] 양(+)의 약수의 총합 (sum of positive factors)

그러면, 위에서 공부했던 예제의 12 = 2² x 3 의 양 (+) 의 약수들의 총합은 어떻게 구할 수 있을까요? 바로, 위의 도표에서 푸르게 색칠된 셀들의 합을 구하면 됩니다.

1 x 1 + 1 x 2 + 1 x 2² + 3 x 1 + 3 x 2 + 3 x 2²

= 1 x (1 + 2 + 2²) + 3 x (1 + 2 + 2²)

= (1 + 3) x (1 + 2 + 2²)

= 28

이제, 공부한 내용을, 문자를 써서 공식으로 일반화시켜 볼까요?

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자연수 N = a^α x b^β x ⋯ x z^ω 로 소인수분해가 될 때,

(1) N 의 양의 약수의 개수는,

(α + 1) x (β + 1) x ⋯ x (ω + 1)

(2) N 의 양의 약수의 총합은,

(1 + a + a² + ⋯ + a^α) x (1 + b + b² + ⋯ + b^β) x

⋯ x (1 + z + z² + ⋯ + z^ω) 

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Solution 2034

Solution 2034

1. 평행선과 동위각, 엇각

     위의 소제목에 링크된 페이지에서 설명하는 동위각과 엇각을 잘 이해하셨나요?

     서로 다른 두 직선이 한 직선과 만날 때, 두 직선이 평행하면 동위각의 크기는 서로

     같고, 엇각의 크기도 서로 같아요.

     역으로, 동위각의 크기가 서로 같거나 또는 엇각의 크기가 서로 같으면 두 직선은

     평행하다고 말할 수 있습니다.

     주어진 문제의 그림에서 ∠ABE 와 ∠B'DE 는 평행선의 엇각으로 서로 같습니다.

     또, ∠BAE 와 ∠DB'E 도 평행선의 엇각으로 서로 같아요.

     이제, 갑자기 머릿속에 어떤 도형이 떠오르시나요?

2. 이등변삼각형

     삼각형 ABC 를 회전시켰으니까, 당연히 ∠ABC 와 ∠AB'C' 는 서로 같아요.

     따라서, 주어진 문제의 그림에서 다음 각들의 크기는 서로 같습니다.

                ∠ABE = ∠B'DE = ∠BAE = ∠DB'E 

     이등변삼각형이라는 명칭대로, 두 변의 길이가 같은 삼각형을 이등변삼각형이라고

     정의합니다. 이 때, 길이가 같은 두 등변이 이루는 각을 꼭지각이라 하고, 나머지

     두 각을 밑각이라고 말합니다.

     소제목 2번에 링크된 설명과 증명의 내용대로, 이 두 밑각은 서로 크기가 같아요.

     따라서 두 각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형이라고 말해도 무방합니다.

     위 2번의 소제목에 링크된 설명의 내용대로, ΔABE 는 두 밑각이 같으니까

     이등변삼각형이 되지요.

     따라서, 두 변 EA 와 변 EB 는 서로 길이가 같은 등변이 됩니다.

  

     마찬가지로, ΔEB'D 도 두 밑각이 같은 이등변삼각형이 되니까, 두 변 EB' 와

     변 ED 는 서로 길이가 같은 등변이 됩니다.

3. 삼각형의 합동

    두 도형의 크기와 모양이 모두 같아 완전히 포개지는 경우를 합동이라고 합니다.

     이 때, 서로 포개지는 꼭지점이나 각 또는 변들을 대응한다고 하고, 각각 대응점,

     대응각, 대응변이라 하지요.

     대응변 S(side)와 대응각 A(angle)의 줄임 표현으로, 두 삼각형의 합동조건은

     ① SSS, ② SAS, ③ ASA의 세 가지가 있습니다.

     위의 2번 소제목에 링크된 설명을 읽을 필요도 없이, 삼각형 ABC 와 이를 회전시킨

     삼각형 AB'C' 는 서로 합동입니다.

     따라서, 변 AB = 변 AB' = 8cm.

    이제, 문제에서 구하려는 선분 BD 의 길이 = (선분 BE + 선분 ED) 의 길이인데

    선분 BE 의 길이 = 선분 AE 의 길이가 되고

    또한, 선분 ED 의 길이 = 선분 EB' 의 길이가 되므로,

    (선분 BE + 선분 ED)의 길이 = (선분 AE + 선분 EB' )의 길이 = 선분 AB' 의 길이

    따라서, 선분 BD 의 길이 = 선분 AB' 의 길이 = 선분 AB 의 길이 = 8cm.

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Answer  2034

  8 cm

평행사변형 Solution 37204

Solution 37204

1. 평행사변형의 대각

    위 1번 소제목에 링크된 페이지 설명대로, 평행사변형 대각의 크기는 서로 같아요.

     평행사변형의 마주 보는 두 대변은 서로 평행이니까, 마주 보는 대각의 두 꼭지점을

     이어주면, 평행선의 엇각들 각각의 크기는 서로 같아요.

     이 때, 서로 마주보는 대각은 두 개의 엇각들의 합으로 이루어져 있으니까, 각각

     같은 크기의 엇각들의 합인 대각의 크기는 서로 같을 수 밖에 없지요.

     즉, Quiz 2217 문제의 그림에서 각 ABC 와 각 ADC 는 서로 대각으로

     서로 같은 70°입니다.

     따라서, 이등분한 각 ADF 와 각 CDF 는 각각  35°가 됩니다.

2. 평행선과 동위각, 엇각

     위의 소제목에 링크된 페이지에서 설명하는 동위각과 엇각을 잘 이해하셨나요?

     서로 다른 두 직선이 한 직선과 만날 때, 두 직선이 평행하면 동위각의 크기는 서로

     같고, 엇각의 크기도 서로 같아요.

     역으로, 동위각의 크기가 서로 같거나 또는 엇각의 크기가 서로 같으면 두 직선은

     평행하다고 말할 수 있습니다.

     주어진 문제의 그림에서 각 BAD 와 각 HBC 는 평행선의 동위각으로 서로 같은 110°

     입니다. 따라서, 이등분한 각 BAF 와 각 DAF 는 각각  55°가 되고,

     같은 그림에서 각 DAE 와 각 BEA 는 평행선의 엇각으로 서로 같은 55°가 되지요.

     여기서, 각 AEC 는 각 BEA 와 평각인 180°를 이루므로,  180°–  55°= 125° 

     또, 앞의 그림에서 각 EAD 와 각 DCE 는 평행선의 동위각으로 서로 같은 110°

3. 삼각형 내각의 합

     평행사변형의 성질에서 배운 것과 같이, 각 BAD  + 각 CDA = 180°가 된다는

     것을 잘 알고 있겠지요?

     따라서,  각 ADF  + 각 DAF 는 1/2 * 180°=  90°이고

  

  

     위의 소제목에 링크된 페이지에서 설명한 대로, 삼각형 세 내각의 합은 180°

     삼각형 ABC 에서, 예컨데 한 변 BC 를 x 축에 평행한 밑변으로 잡고, 꼭지점 A 를

     지나고 변 BC 에 평행한 (평행)선을 그어 볼까요?

     밑각 ABC 와 크기가 같은 엇각 + 꼭지각 A + 밑각 ACB 와 크기가 같은 엇각의

     크기는 평각과 같으므로, 삼각형 세 내각의 합은 180°입니다.

 

     따라서, 주어진 Quiz 2217 문제 그림의 삼각형 AFD 에서,

     각 AFD = 180°–  90°=  90°

4. 다각형 내각의 합

     다른 방법의 풀이도 한번 살펴볼까요?

     사각형을 대각선 하나를 그어, 두 개의 삼각형으로 나누어 보면, 사각형 내각의

     합은 나누어진 두 삼각형의 내각을 모두 다 합한 것과 같습니다.

     또, 오각형을 한 꼭지점에서 대각선 두 줄을 그어서, 세 개의 삼각형으로 나누면

     이번에는, 오각형 내각의 합은 나누어진 세 삼각형의 내각들을 모두 다 합한 것과

     같다는 것을 알 수 있어요.

     이제, 이 규칙을 일반화해 볼까요?

     4 각형 내각의 합 = (4-2=2)개의 삼각형 내각들의 합 = (4-2=2) * 180°

     5 각형 내각의 합 = (5-2=3)개의 삼각형 내각들의 합 = (5-2=3) * 180°

     6 각형 내각의 합 = (6-2=4)개의 삼각형 내각들의 합 = (6-2=4) * 180°

     따라서, n 각형 내각의 합 = ( n - 2 ) * 180° 

     위의 4번에 링크된 페이지의 설명대로, 사각형 내각의 합은 180°* 2 =  360°
     그런데, Quiz 2217 문제 그림의 사각형 FECD 에서 살펴보면,

      각 DFE 는 180°– 각 AFD = 180°–  90°=  90°

      또, 각 CDF  = 1/2 * 각 ADC  = 1/2 * 70°=   35°이였지요?

     따라서, 사각형 FECD 에서 각 AEC + 각 DCE 는

     360°– ( 각 DFE  + 각 CDF ) = 360°– ( 90°+ 35°) = 235°

 

 

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Answer 37204

  235°