4. 수열의 합

수열의 합

series

" Σ 기호를 사용하니까

합 표시가 너무 편리해요"

" it's very compact to use Σ notation "

수열은 순서대로 나열된 숫자들의 공통된 규칙을 찾아내는 마치 게임과도 같은 재미있는 단원입니다.

영리한 학생들은 초등산수 시절부터 나열된 항 사이의 계차로 쉽게 그 규칙성을 찾아내기도 하지만, 부분분수나 군수열 등 조금 더 어려운 유형들을 해결하려면 기본적인 유형들에 대한 어느 정도의 해법 암기도 필요합니다.

이번에는 수열의 정의와 사용되는 기호 등의 가장 기초가 되는 내용들을 설명하려고 합니다. 첫 단계부터 기초 개념과 원리을 확실하게 이해해 두기 바랍니다.

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지난번에, 짝수들의 수열 2, 4, 6, 8, 10, ... 의 제 n 번째 항은 a_n = 2n 이라고 표현한다는 것을 배웠습니다.

이제, 수열들의 제 n 번째 항까지의 합인 2 + 4 + 6 + ... + 2n 은 기호로 S_n 이라고 나타냅니다.

일반화해서 문자로 나타낸다면, 무한개의 항을 갖는 수열 { a_n } 에 대하여 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

{ a_n } = a₁, a₂, a₃, ... ,a_n, ...

S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n = \(\sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}} \)

S = a₁ + a₂ + ... + a_n + ... = \(\sum\limits_{k = 1}^\infty  {{a_k}} \)

=====

S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n = (^k=1∑_n​) a_k​

\(\sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}} \)

S = a₁ + a₂ + ... + a_n + ... = lim_x→∞

\(\sum\limits_{k = 1}^\infty  {{a_k}} \)

시그마 기호를 사용하여 수열의 합을 나타내는 일반적인 형태는 다음과 같습니다.

$$\sum _{k=m}^n{a}_k$$

이 기호는 "$k=m$부터 $n$까지 $a_k$를 모두 더하라"는 의미를 담고 있습니다. 각 구성 요소의 역할은 다음과 같습니다:

1. $\Sigma$ (시그마): 합을 구하라는 명령을 나타냅니다.

2. $k$ (변수): 수열의 항 번호(인덱스)로 사용되는 변수입니다. 일반적으로 $k$, $i$, $j$ 등을 사용합니다.

3. $m$ (아래 첨자): 합을 시작하는 항의 번호입니다. 시작점을 나타냅니다.

4. $n$ (위 첨자): 합을 끝내는 항의 번호입니다. 끝점을 나타냅니다.

5. $a_k$ (일반항): 변수 $k$에 대한 식으로, 더할 대상인 수열의 일반항을 나타냅니다.

예시:

$$\sum _{k=1}^5(2k)$$

• 의미: $k$에 1부터 5까지 순서대로 대입한 $(2k)$ 값들을 모두 더하라는 뜻입니다.

• 풀이: $(2\times 1)+(2\times 2)+(2\times 3)+(2\times 4)+(2\times 5)$ $=2+4+6+8+10=30$

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그러면 위와 같이, 수열의 합을 간단하게 표현할 때 아주 유용하게 쓰이는 Σ (씨그마, sigma) 기호에 대하여 알아 보도록 합니다.

예를 들어, 1 + 2 + 3 + ... + 100 과 같이 일정한 규칙으로 더해지는 수열의 합은 Σ 기호를 사용해서 아주 간단하게 표현할 수 있습니다.

1 + 2 + 3 + ... + 100 = \(\sum\limits_{k = 1}^{100} k \)

(1) Σ 기호의 아래 부분에는 위의 예에서의 k = 1 과 같이, 변수 k 와 시작하는 값 1 을 작은 글씨로 적습니다

(2) Σ 기호의 윗 부분에는 위의 예와 같이, 변수 k 가 끝나는 값 100 을 작은 글씨로 적습니다. 만일 무한수열이라면 ∞ 로 표시하면 됩니다.

(3) Σ 기호의 오른쪽에는 더해야 하는 식이나 값을, 변수 k 로 나타내서 보통 크기로 적습니다. 이 때, 변수는 i, n, p ... 등의 다른 문자를 사용해도 됩니다.

Σ 기호의 사용에 익숙해질 수 있도록, 보기 문제들을 풀어 보도록 할까요?

(1) \(\sum\limits_{k = 2}^{17} {{k^2}} \) = 2² + 3² + ... + 17²

(2) \(\sum\limits_{n = 1}^{15} {3n} \) = (3 x 1) + (3 x 2) + ... + (3 x 15)

(3) \(\sum\limits_{i = 1}^{20} 2 \) = 2 + 2 + 2 + ... + 2 = 2 x 20 = 40

이제는 반대로, 수열의 합으로 표시된 것을 Σ 기호로 나타내 보도록 할까요?

(1) 1 + 4 + 7 + 10 + ... + 61 = \(\sum\limits_{n = 1}^{21} {(3n - 2)} \)

(2) 2 + 4 + 8 + 16 + ... = \(\sum\limits_{k = 1}^\infty  {{2^k}} \)

(3) 1 x 2 + 3 x 4 + ... + 19 x 20 = \(\sum\limits_{p = 1}^{19} {p(p + 1)} \)

이번에는 Σ 기호의 성질에 대하여 공부해 보도록 합니다.

(1) \(\sum\limits_{k = 1}^{20} {(k + {k^2})} \)

= (1 + 1²) + (2 + 2²) +(3 + 3²) + ... + (20 + 20²)

= ( 1 + 2 + 3 + ... + 20) + (1² + 2² + 3² + ... + 20²)

= \(\sum\limits_{k = 1}^{20} k \) + \(\sum\limits_{k = 1}^{20} {{k^2}} \)

(2) \(\sum\limits_{k = 1}^{20} {3k} \)

= 3 x 1 + 3 x 2 + 3 x 3 + ... + 3 x 20

= 3 x ( 1 + 2 + 3 + ... + 20)

= 3\(\sum\limits_{k = 1}^{20} k \)

(3) \(\sum\limits_{k = 1}^n 3 \)

= 3 + 3 + 3 + ... + 3

= 3n

위에서 살펴 보았던 기호 Σ 의 성질을 일반화해서 아래와 같이 정리해 두도록 할까요?

---

(1) \(\sum\limits_{k = 1}^n {({a_k} + {b_k})}  = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}}  + \sum\limits_{k = 1}^n {{b_k}} \)

(2) \(\sum\limits_{k = 1}^n {(p \times {a_k})}  = p \times \sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}} \)

(3) \(\sum\limits_{k = 1}^n c  = c \times n\)

---

따라서, 이러한 Σ 의 성질을 이용하면, 복잡한 수열의 합도 아래와 같이 간단하게 계산해 낼 수가 있습니다.

\(\sum\limits_{k = 1}^n {(2{k^2} - 3k + 4)}  = 2\sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}}  - 3\sum\limits_{k = 1}^n k  + 4n\)

참고로 제 n 항까지의 (1) 자연수, (2) 자연수의 제곱 및 (3) 자연수의 세제곱들의 합의 공식은 아래와 같습니다. 이를 구하는 원리는 다음에 따로 설명하도록 합니다.

\(\sum\limits_{k = 1}^n k  = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)

\(\sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}}  = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\)

\(\sum\limits_{k = 1}^n {{k^3}}  = {\left\{ {\frac{{n(n + 1)}}{2}} \right\}^2}\)

마지막으로, 수열의 합 S_n 과 일반항 a_n 의 관계에 대하여 알아 보도록 할까요?

S_n = a₁ + a₂ + ... + a_{n -1} + a_n ... ①

S_{n -1} = a₁ + a₂ + ... + a_{n -1}    ... ②

이제, 연립방정식과 같이 윗식에서 아래식을 빼주면,

[가감법]  ① – ② :

S_n – S_{n -1} = a_n ( n ≥ 2 )

이 식은 앞으로 배우게 될, 여러가지 수열의 점화식 등에서 활용되는 매우 중요한 일반항 유도 공식이니까, 반드시 기억해 두기 바랍니다.

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영어번역을 함께 보시려면, 아래의 링크를 눌러주세요.

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http://jaymathbee.blogspot.kr

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2. 지적인 성장은 오직 고독 속에서

지적인 성장은 오직 고독속에서

intellectual work demands solitude

"문제가 안풀리더라도
끙끙거린만큼 수학실력이 늘어요"

‘ … 지적인 성장은 오직 고독 속에서 이루어진다 … ’ 프랑스 철학적 문학가 사르뜨르의 말입니다.

어느 공부나 마찬가지이겠지만 특히 수학공부는 우리 내면에 잠재되어 있는 이성의 힘을 키우고 활용해야 하기 때문에, 한 단계 도약하기 위하여는 반드시 혼자서 며칠이라도 끙끙거리며 해결하는 과정을 필요로 합니다.

예를 들어, 일주일간 수학 한 문제를 풀기 위해 애를 쓰고 고민을 거듭했다면, 설사 그 문제가 풀리지 않더라도 집중력을 가지고 문제해결을 위해 노력하는 과정에서 이미 수학실력은 일취월장하게 됩니다.

설사 그 문제의 답을 구하지 못했더라도, 그 일주일 동안 해결해 내느라고 노력하는 과정에서 자신이 갖고 있는 수학지식을 아주 효과적으로 복습하고 재정리하는 과정을 갖게 됩니다.

문제를 풀어내려고 애쓰는 일주일간에 관련되었을 것이라고 추정되는 수학 단원들의 이론이나 공식 또는 예제유형들을 얼마나 많이 기억해내고 동원해 내려고 끙끙거렸겠습니까? 세상에 이보다 더 좋은 복습방법은 없을 것입니다.

수학 우등생들은 저마다, 심화수학 몇 문제를 아예 머리 속에 외워 두고는 몇 일 동안이나 풀어내려고 끙끙거리다가, 어느 날 갑자기 마치 기적과도 같이 해결되는 기쁨을 맛보았던 경험을 적어도 한두 번씩은 다들 갖고 있습니다.

어려운 문제를 해결했을 때의 그 기쁨과 환희 … 그리고 솟아나는 자신감 …

물론 대부분의 학생들에겐 공부해야 하는 수학의 내용이 너무 많고 절대적으로 시간이 부족한 실정이라 안타깝게도 모든 심화 문제를 이렇게 공부할 수는 없는 노릇이라고 항변할지도 모르겠습니다만,

수학적 개념이 단단해지고 스스로 생각하는 힘이 강해질수록, 수많은 여러 개의 다른 유형으로 보였던 수학문제들이 하나의 개념과 이론만을 갖고서도 풀어낼 수 있는 간단한 유형의 문제로 보이기 시작합니다.

적어도 일주일에 한 두 문제는 이렇게 스스로 혼자만의 힘으로 고민해 보아야, 수학실력과 자신감이 빠르게 좋아집니다. 그리고 수학실력이 한 단계씩 도약하면 할수록 기계적으로 문제만 푸는 식의 낭비하는 시간을 줄일 수 있어 훨씬 효율적으로 공부해 나갈 수 있습니다.

이는 상위권 우등생에게만 해당되는 것이 아닙니다. 설사 남들에게는 쉬운 아주 기본적인 유형의 문제라도, 부족한 나에게는 오히려 좋은 심화문제가 되는 것입니다.

(1) 필수유형이라고 여러 번 강조되거나 (2) 하나의 문제인데도 여러가지의 서로 다른 풀이 방법으로 연구되던 문제들 중에서 추려낸 다음에,


내가 여러 사람 앞에서 설명할 정도로 정확하게 풀어 내지 못하는 문제들이 있다면, 반드시 리스트에 올려서 나 혼자 고민하는 즐거운(?) 시간의 화두로 삼아 보기를 권합니다.



자기 수준에 맞는 좋은 문제로, 스스로 해결해 내느라고 애쓰며 고민하고 해결해 나가는 과정에서, 수학실력과 성취감, 자신감이 쑥쑥 자라나게 될 것입니다.

6. (완전)제곱수

완전제곱수

square numbers

"홀수개의 양의 약수를 가진다면

무조건 제곱수네요"

" perfect square has

odd number of positive factors "

양(+) 의 약수의 개수의 개념과 관련된 완전 제곱수 문제는 중고등수학 전반에서, 직접적인 유도과정을 묻거나 결합된 형태의 유형으로 자주 출제되고 있습니다.

정확한 개념 및 유도 과정과 응용력을 익혀서, 항상 활용할 수 있도록 기억해 두기 바랍니다.

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(완전)제곱수는 어떤 특징을 갖고 있을까요? 예를 들어, 12² = 144 를 살펴 보도록 할까요?

144는 제곱수이니까, 소인수로 분해하면 (2² x 3)² = 2⁴ x 3² 과 같이 지수가 항상 짝수일 수 밖에 없겠지요?

따라서, 양의 약수의 개수는 (4 + 1) x (2 + 1) 과 같이 홀수들의 곱이 될테니까, 전체의 개수는 항상 홀수가 될 수 밖에 없습니다.

반대로, 음이 아닌 정수 N 의 양의 약수의 개수가 홀수라고 한다면 그 수 N 은 반드시 완전제곱수일 수 밖에 없을까요?

예컨데, (p + 1) x (q + 1) x ⋯  과 같이 계산된 결과가 홀수라는 것이지요. 그런데, 홀수들만의 곱이 홀수가 되는 것이니까, (p + 1), (q + 1), ⋯  들은 모두 홀수일 수 밖에 없습니다.

따라서, p, q, ⋯  와 같은 소인수의 지수들은 짝수일 수 밖에 없습니다.

이제, 공부한 내용을 문자로 일반화해서 정리해 두도록 할까요?

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자연수 N 이 아래와 같이 소인수 분해되는 경우,

  

N = a^α x b^β x ⋯ x z^ω

(1) 양의 약수의 개수가 홀수라고 한다면, 아래 곱셈의 결과가 홀수라는 뜻이 됩니다.

  

(α + 1) x (β + 1) x ⋯ x (ω + 1) = 홀수

(2) 그런데, 홀수들의 곱만이 항상 홀수가 되므로, 각각의 (α + 1), (β + 1), ⋯ (ω + 1) 가 모두 홀수가 되겠지요.

(3) 따라서, α, β, ⋯ ω 는 모두 짝수입니다. 이제, α = 2α', β = 2β',  ⋯  ω = 2ω' 라고 놓으면,

  

N = a^α x b^β x ⋯ x z^ω

= a^2α' x b^2β' x ⋯ x z^2ω'

= (a^α' x b^β' x ⋯ x z^ω')²

(5) 따라서, 자연수 N 은 (완전)제곱수가 됩니다.

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이것만 알고 있으면, 다음과 같은 문제는 아주 쉽게 해결할 수 있습니다.

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400 미만의 자연수 중에서 양의 약수의 개수가 홀수인 자연수의 개수를 구하여라.

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위에서 공부한 대로, 홀수개의 약수를 가진 자연수는 (완전)제곱수이니까,

  

1², 2², 3², ⋯ 19²

∴  19 개