집합(3) 집합 원소의 개수

집합 원소의 개수

number of elements in a set

"중복된 공통부분은 빼주어야지요"

" subtract common elements that were counted twice "

원소의 개수는 집합 단원에서 합집합과 교집합의 혼합된 개념을 잘 이해해야 하는 가장 기본적인 기초적인 개념입니다만,

중 2 와 고 2 의 [경우의 수와 확률] 단원 및 고 1 의 [집합과 명제] 단원을 연계해서 혼합된 현태의 응용문제가 자주 등장하는 개념이기도 합니다.

특히, 심화수준의 문제들에서는, 전체의 경우의 수에서 특정조건을 만족하지 않는 반대의 경우를 빼주는, 여집합의 개념과 함께 해결해야 하는 복잡한 유형도 출제됩니다.

기본개념과 공식 정도는 암기해 두어야, 빠른 시간 내에 쉽게 문제를 해결할 수 있습니다.

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앞에서, 집합A = {a, b, c} 의 원소의 개수를n (A) = 3 으로 표현한다고 했습니다. 그러면 집합 C = {b, c, e, f} 라 할 때, n (A∪C) 는 어떻게 계산할까요?

집합 사이의 관계를 시각적으로 아주 잘 보여 주는 벤 다이어그램 (Venn diagram) 을 이용해서 알아 보도록 하지요.

 

위 그림에서 보듯이, n(A∪C) 는 단순히 n (A) + n (C) 가 아니라, 중복해서 두 번 더해지는, 빨간색으로 표시된 A∩C = {b, c} 만큼을 다시 빼 주어야 합니다.

n (A∪C)

= n (A) + n (C) – n (A∩C)

= 3 + 4 – 2

= 5

이 원리는 집합의 개수를 늘려나가면 상당히 복잡합니다. 벤 다이어그램에서 집합을 3 개로 확장해서 아래와 같이 그려 보면 되겠죠? 고등수학 과정에서는 3 개의 수준까지는 외워 두어야 됩니다.

이번에도 위 그림에서 보듯이, n (A∪C∪D) 는 단순하게 n (A) + n (C) + n (D) 가 아니라,

(1) 중복해서 두 번 더해진, n (A∩C), n (C∩D) 와 n (D∩A) 를 각각 빼 주어야지요.

(2) 그런데, 이렇게 3 번을 빼주다 보면, A∩C∩D = {b, c} 는 3 번씩이나 빠졌으니까, 다시 한 번은 도로 더해 주어야 합니다.

n (A∪C∪D)

= n (A) + n (C) + n (D)

– n (A∩C) – n (C∩D) – n (D∩A)

+ n (A∩C∩D) 

= 5 + 6 + 5 – 3 – 3 – 3 + 2

= 9

그럼, 공부한 내용을 일반식으로 정리해 볼까요?

---

n (A∪C∪D)

= n (A) + n (C) + n (D)

– n (A∩C) – n (C∩D) – n (D∩A)

+ n (A∩C∩D) 

---

이 개념이 어떻게 활용되는지, 예를 한번 볼까요?

---

100 미만의 자연수 중에서 2 또는 3 또는 5 의 배수인 자연수의 개수를 구하여라.

---

(1) 위에서 정리했던 '합집합 원소의 개수' 의 개념을 확실하게 이해했다면, 그대로 공식을 대입하면 되겠지요?

(2) 교집합의 개념을 이용하면, 2 와 3 의 공배수는 6 의 배수이므로 n (2 ∩ 3) = n (6) 이고, 같은 방법으로 아래의 공배수들이 성립합니다.

n (2 ∩ 5)        =  n (10)

n (3 ∩ 5)        =  n (15)

n (2 ∩ 3 ∩ 5) =  n (30)

(3) 따라서, 이를 대입하여 정리하면,

n (2∪3∪5)

= n (2) + n (3) + n (5)
– n (6) – n (15) – n (10)
+ n (30)

= 49 + 33 +19 – 16 – 6 – 9 + 3

= 73

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행렬(4) AB = BA인 행렬

AB=BA인 행렬

finding a matrix B such that AB = BA

"AB = BA만 성립한다면 행렬계산이 너무 쉽지요"

" matrix operation becomes quite easy

only if AB = BA "

  

원래 행렬을 배우는 표준 수학의 본질에서는 다소 벗어나 있지만, 우리나라 고 3 의 수능이나 모의고사 문제에서는, 행렬의 연산에서 지나치게 어려운 유형이나 진위 유형이 자주 출제됩니다.

[행렬의 연산] 단원의 심화유형 문제에서, AB = BA 를 만족하는지만 알아낼 수 있다면, 곱셈공식과 인수분해 공식을 자유롭게 사용할 수 있으니까, 아주 편리합니다.

실전문제에서 아주 유용한 방법이니까, 철저하게 이해하고 응용하는 방법을 익혀두기 바랍니다.

현재 고 1부터는 이 [행렬] 단원을 개정된 표준교과에 따라, 배우지 않습니다만, 심화유형의 수열이나 벡터에서는 행렬의 기본개념이 필요하다는 점도 알아 두기 바랍니다.

이 [행렬] 단원은 구 고등과정 교과표준에 따라 (2×2) 행렬을 기준으로 설명합니다.

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앞에서 두 행렬의 곱, AB 와 BA 는 서로 같지 않다는 것을 배웠습니다. 그래서 행렬의 곱이 포함된 연산은 너무 어렵지요?

AB = BA 만 성립한다면 얼마나 좋을까요? 우리가 익히 알고 있는 곱셈공식과 인수분해 공식을 맘대로 사용할 수 있을 테니까요.

그러면 여기서, 실수에서와 같이 우리가 마음대로 연산할 수 있도록 하는 AB = BA 가 성립하는 행렬 B 에는 도대체 어떤 것들이 있는지를 조사해 볼까요?

(1) 단위행렬 (identity matrix)

AE = EA, AE² = E²A, AE^-1 = E^-1A, ...

(2) 행렬 A 와 그 패밀리 (matrix A itself and its family)

AA² = A²A, AA³ = A³A, AA^-2 = A^-2A, ...

따라서, 행렬 B 가 위에서 알아낸 두 가지 종류의 덧셈과 뺄셈으로 이루어져 있다면, 곱셈의 교환법칙이 성립하겠지요? 그러면 일반화시켜서, 정리해 볼까요?

---

행렬 B = p A^m + q A^–n+ r E 일 때는, 항상 AB = BA 가 성립한다.

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이 내용은 심화유형의 행렬의 연산이나 진위문제에서, 아주 편리하게 활용되니까, 상위 수준의 고등학생이라면, 반드시 외워 두고 응용력을 키워두기 바랍니다.

예를 하나 볼까요?

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두 행렬 A, B 가 아래의 두 조건식을 만족할 때, A³ + B³ 을 단위행렬 만으로 간단히 나타내어라.

A + B = E (I₂)  ⋯ ①

AB = 2E (2I₂)  ⋯ ②

---

(1) 우선 ① 식을 B 를 주어로 바꾸면, B = – A + E 이니까, 위에서 알아낸 대로

      AB = BA 가 성립하지요?

(2) 따라서, 곱셈공식을 맘대로 사용해도 되겠지요?

     곱셈공식의 변형 방법으로 계산하면,

A³ + B³

= (A + B)³ – 3AB(A + B)

(3) 이제, 변형식에 주어진 ①, ② 식을 대입하면,

  

= E³ – 3 x 2E x E

= – 5E

한 문제만, 더 풀어 보도록 할까요?

---

역행렬을 갖는 두 행렬 A, B 가 A + B = 3E 를 만족할 때, 아래의 등식이 참인지 거짓인지를 판별하여라.

(AB)²⁰ = A²⁰ x B²⁰

---

(1) 우선, B 를 주어로 바꾸어 보면 B = 3A^–1 이니까, AB = BA 가 성립하지요?

(2) 따라서, (AB)²⁰ 을 전개한 다음, AB = BA 를 아래와 같이 계속 바꾸어 나가면

     참이 되는 것을 알 수 있습니다.

(AB)²⁰

= AB x AB x AB x AB x ⋯

= A x AB x AB x AB x ⋯

= AA x AB x BA x BA x ⋯

= A²⁰ x B²⁰

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4. 수열의 합

수열의 합

series

" Σ 기호를 사용하니까

합 표시가 너무 편리해요"

" it's very compact to use Σ notation "

수열은 순서대로 나열된 숫자들의 공통된 규칙을 찾아내는 마치 게임과도 같은 재미있는 단원입니다.

영리한 학생들은 초등산수 시절부터 나열된 항 사이의 계차로 쉽게 그 규칙성을 찾아내기도 하지만, 부분분수나 군수열 등 조금 더 어려운 유형들을 해결하려면 기본적인 유형들에 대한 어느 정도의 해법 암기도 필요합니다.

이번에는 수열의 정의와 사용되는 기호 등의 가장 기초가 되는 내용들을 설명하려고 합니다. 첫 단계부터 기초 개념과 원리을 확실하게 이해해 두기 바랍니다.

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지난번에, 짝수들의 수열 2, 4, 6, 8, 10, ... 의 제 n 번째 항은 a_n = 2n 이라고 표현한다는 것을 배웠습니다.

이제, 수열들의 제 n 번째 항까지의 합인 2 + 4 + 6 + ... + 2n 은 기호로 S_n 이라고 나타냅니다.

일반화해서 문자로 나타낸다면, 무한개의 항을 갖는 수열 { a_n } 에 대하여 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

{ a_n } = a₁, a₂, a₃, ... ,a_n, ...

S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n = \(\sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}} \)

S = a₁ + a₂ + ... + a_n + ... = \(\sum\limits_{k = 1}^\infty  {{a_k}} \)

=====

S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n = (^k=1∑_n​) a_k​

\(\sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}} \)

S = a₁ + a₂ + ... + a_n + ... = lim_x→∞

\(\sum\limits_{k = 1}^\infty  {{a_k}} \)

시그마 기호를 사용하여 수열의 합을 나타내는 일반적인 형태는 다음과 같습니다.

$$\sum _{k=m}^n{a}_k$$

이 기호는 "$k=m$부터 $n$까지 $a_k$를 모두 더하라"는 의미를 담고 있습니다. 각 구성 요소의 역할은 다음과 같습니다:

1. $\Sigma$ (시그마): 합을 구하라는 명령을 나타냅니다.

2. $k$ (변수): 수열의 항 번호(인덱스)로 사용되는 변수입니다. 일반적으로 $k$, $i$, $j$ 등을 사용합니다.

3. $m$ (아래 첨자): 합을 시작하는 항의 번호입니다. 시작점을 나타냅니다.

4. $n$ (위 첨자): 합을 끝내는 항의 번호입니다. 끝점을 나타냅니다.

5. $a_k$ (일반항): 변수 $k$에 대한 식으로, 더할 대상인 수열의 일반항을 나타냅니다.

예시:

$$\sum _{k=1}^5(2k)$$

• 의미: $k$에 1부터 5까지 순서대로 대입한 $(2k)$ 값들을 모두 더하라는 뜻입니다.

• 풀이: $(2\times 1)+(2\times 2)+(2\times 3)+(2\times 4)+(2\times 5)$ $=2+4+6+8+10=30$

========

그러면 위와 같이, 수열의 합을 간단하게 표현할 때 아주 유용하게 쓰이는 Σ (씨그마, sigma) 기호에 대하여 알아 보도록 합니다.

예를 들어, 1 + 2 + 3 + ... + 100 과 같이 일정한 규칙으로 더해지는 수열의 합은 Σ 기호를 사용해서 아주 간단하게 표현할 수 있습니다.

1 + 2 + 3 + ... + 100 = \(\sum\limits_{k = 1}^{100} k \)

(1) Σ 기호의 아래 부분에는 위의 예에서의 k = 1 과 같이, 변수 k 와 시작하는 값 1 을 작은 글씨로 적습니다

(2) Σ 기호의 윗 부분에는 위의 예와 같이, 변수 k 가 끝나는 값 100 을 작은 글씨로 적습니다. 만일 무한수열이라면 ∞ 로 표시하면 됩니다.

(3) Σ 기호의 오른쪽에는 더해야 하는 식이나 값을, 변수 k 로 나타내서 보통 크기로 적습니다. 이 때, 변수는 i, n, p ... 등의 다른 문자를 사용해도 됩니다.

Σ 기호의 사용에 익숙해질 수 있도록, 보기 문제들을 풀어 보도록 할까요?

(1) \(\sum\limits_{k = 2}^{17} {{k^2}} \) = 2² + 3² + ... + 17²

(2) \(\sum\limits_{n = 1}^{15} {3n} \) = (3 x 1) + (3 x 2) + ... + (3 x 15)

(3) \(\sum\limits_{i = 1}^{20} 2 \) = 2 + 2 + 2 + ... + 2 = 2 x 20 = 40

이제는 반대로, 수열의 합으로 표시된 것을 Σ 기호로 나타내 보도록 할까요?

(1) 1 + 4 + 7 + 10 + ... + 61 = \(\sum\limits_{n = 1}^{21} {(3n - 2)} \)

(2) 2 + 4 + 8 + 16 + ... = \(\sum\limits_{k = 1}^\infty  {{2^k}} \)

(3) 1 x 2 + 3 x 4 + ... + 19 x 20 = \(\sum\limits_{p = 1}^{19} {p(p + 1)} \)

이번에는 Σ 기호의 성질에 대하여 공부해 보도록 합니다.

(1) \(\sum\limits_{k = 1}^{20} {(k + {k^2})} \)

= (1 + 1²) + (2 + 2²) +(3 + 3²) + ... + (20 + 20²)

= ( 1 + 2 + 3 + ... + 20) + (1² + 2² + 3² + ... + 20²)

= \(\sum\limits_{k = 1}^{20} k \) + \(\sum\limits_{k = 1}^{20} {{k^2}} \)

(2) \(\sum\limits_{k = 1}^{20} {3k} \)

= 3 x 1 + 3 x 2 + 3 x 3 + ... + 3 x 20

= 3 x ( 1 + 2 + 3 + ... + 20)

= 3\(\sum\limits_{k = 1}^{20} k \)

(3) \(\sum\limits_{k = 1}^n 3 \)

= 3 + 3 + 3 + ... + 3

= 3n

위에서 살펴 보았던 기호 Σ 의 성질을 일반화해서 아래와 같이 정리해 두도록 할까요?

---

(1) \(\sum\limits_{k = 1}^n {({a_k} + {b_k})}  = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}}  + \sum\limits_{k = 1}^n {{b_k}} \)

(2) \(\sum\limits_{k = 1}^n {(p \times {a_k})}  = p \times \sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}} \)

(3) \(\sum\limits_{k = 1}^n c  = c \times n\)

---

따라서, 이러한 Σ 의 성질을 이용하면, 복잡한 수열의 합도 아래와 같이 간단하게 계산해 낼 수가 있습니다.

\(\sum\limits_{k = 1}^n {(2{k^2} - 3k + 4)}  = 2\sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}}  - 3\sum\limits_{k = 1}^n k  + 4n\)

참고로 제 n 항까지의 (1) 자연수, (2) 자연수의 제곱 및 (3) 자연수의 세제곱들의 합의 공식은 아래와 같습니다. 이를 구하는 원리는 다음에 따로 설명하도록 합니다.

\(\sum\limits_{k = 1}^n k  = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)

\(\sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}}  = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\)

\(\sum\limits_{k = 1}^n {{k^3}}  = {\left\{ {\frac{{n(n + 1)}}{2}} \right\}^2}\)

마지막으로, 수열의 합 S_n 과 일반항 a_n 의 관계에 대하여 알아 보도록 할까요?

S_n = a₁ + a₂ + ... + a_{n -1} + a_n ... ①

S_{n -1} = a₁ + a₂ + ... + a_{n -1}    ... ②

이제, 연립방정식과 같이 윗식에서 아래식을 빼주면,

[가감법]  ① – ② :

S_n – S_{n -1} = a_n ( n ≥ 2 )

이 식은 앞으로 배우게 될, 여러가지 수열의 점화식 등에서 활용되는 매우 중요한 일반항 유도 공식이니까, 반드시 기억해 두기 바랍니다.

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