일차부등식(3) 일차부등식의 응용

일차부등식의 응용

linear inequalities word problem

"그래프를 이용하니까 부등식 문제를 정확하게 풀어낼 수 있어요"

" using graphs help solve inequality problems accurately "

미지수 개수만큼의 특정한 해만을 갖는 등식에 비해, 부등식은 일정한 범위를 해로 갖기 때문에, 논리적인 계산을 통해서 정확하게 정답의 구간을 구해야 하는 단원입니다.

특히, 중학수학부터는 정수나 음수(–)인 실수를 포함하는 범위에서 부등식을 풀어야 하기 때문에, 잘못된 풀이를 하거나 계산 실수도 잦아, 많은 학생들이 어려워합니다.

기본적으로 부등식은 범위를 다루는 개념이므로, 수직선(number line) 다이어그램이나, 그래프를 이용해서 문제의 내용과 의미를 파악하는 훈련이 절대적으로 필요한 단원입니다.

다소 낯설고 어렵게 느껴지더라도, 최대한 그래프를 활용한 설명을 추가하려고 하니, 반드시 기본개념과 응용력을 철저히 익혀두어야 합니다.

큰 어려움 없이, 부등식의 영역을 좌표평면에 나타내거나, 부등식의 범위와 동의어가 되는 최대/최소값 문제를 그래프로 나타내고 해결할 수 있어야, 상위권의 우수한 수학실력을 갖추게 된다는 점을 명심하기 바랍니다.

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먼저, 보기 문제를 보도록 할까요?

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 x + a > 3x – 2 를 만족하는 자연수의 개수가

 3개일 때, 상수 a 값의 범위를 구하여라.

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(1) x 항들은 x 의 계수가 양(+)이 되도록 한 변에, 상수항들은 다른 변에 정리합니다.

     그래야 음수이면 부등호의 방향이 바뀌는 것을 아예 방지함으로써,

     실수를 최소화 할 수 있습니다.

+ a + 2 > 3x – x

(2) 좌변에 x 항이 위치하도록, 필요한 경우 부등호 방향을 바꾸어 양변을 간단하게

     정리합니다.

  2x < a + 2

(3) 양변을 x 의 계수로 나눕니다. 미리 앞에서, x 의 계수가 양(+)이 되도록 정리했으니까,

     음수로 부등호의 방향이 바뀌는 일은 없겠지요?

     일반적으로 문자 계수가 주어진 경우에는, 음수(–)이면 부등호의 방향이 바뀌는 것에

     주의해야 합니다.

      따라서,  x < (a+2)/2

(4) 위의 부등식 구간을 수직선(number line)에 표시합니다.

     조금 어렵게 느껴진다면, (a+2)/2 = k 로 치환하도록 할까요?

     등호가 없으니까, 큼지막하게 속이 비어 있는 하얀 동그라미를 표시해야 하겠지요?

(5) 문제에서 자연수의 개수가 3개라고 했으니까, 위 그림에서 하얀 동그라미로 표시된

     (a+2)/2 = k 를 좌우로 움직여 보면서, 자연수 1, 2, 3 이 빨간색으로 표시된 부등식의

     구간 내에 들어올 수 있도록 범위를 구해내야 하겠지요?

(6) 이 때, 하얀 동그라미로 표시된 (a+2)/2 = k 를 정답 구간으로 추정되는 자연수 3

     또는 4 위에 올려 놓고 고민해 보면, 보다 쉽게 알아낼 수 있습니다.

 3 < (a+2)/2 = k ≤ 4

(7) 이제 남은 계산만 정리해 주면 되겠지요?

 6 < a + 2 ≤ 8

       따라서, 답은 4 < a ≤ 6

이번에는, 다른 유형의 문제를 풀어 볼까요?

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 어른 1 명이 혼자 일을 하면 10 일이 걸리고,

 어린이 한 명이 하면 20 일이 걸리는 일을, 어른과

 어린이를 합하여 5명이 이틀 내에 끝내려고 한다.

 어른은 몇 명 이상이 필요한지 구하여라.

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(1) 이런 유형의 문제에서는 전체 일의 양을 1 이라고 놓는다고 했었지요?

     또, 문제에서 묻고 있는 어른의 인원수를 x 라고 놓는 것이 좋겠지요?

(2) 어른과 어린이가 하루에 할 수 있는 일의 양을 식으로 세우면,

어른이 하루에 일하는 양     :  1/10

어린이가 하루에 일하는 양  :  1/20

(3) 어른의 인원수를 x 라고 놓으면, 어린이는 (5–x) 명이 되니까

     어른과 어린이를 합하여 5명이 하루에 하는 일의 양은,

(1/10)x + (1/20)(5–x)

(4) 이틀 내에 일을 끝마쳐야 하니까, 위에서 구한 일의 양의 2배가, 전체 일의 양인 1 보다

     크거나 같아야 하겠지요?

2{(1/10)x + (1/20)(5–x)} ≥ 1

(5) 부등식 양변에 최소공배수 20을 곱하여 정리하면,

4x + (5 – x) ≥ 20

3x ≥ 15

∴  x ≥ 5

따라서, 답은 어른 5명 이상

집합(1) 집합의 정의

집합의 정의

definition of a set

"자연과학의 기초언어가 수학이라면

수학의 기초언어는 집합입니다"

" If math is the language of science,

then set theory is the language of math "

최근 중학 교과개정에서 ‘집합 (set theory)’ 단원이 빠졌지만, 수학공부에 기초가 되는 중요한 개념이기 때문에, 표준 교과과정과 관계없이 기본적인 개념과 표현방법 및 기호는 반드시 알아두어야 합니다.

특히, 학생들이 비교적 어려워하는 아래의 단원들에서 합집합 과 교집합 (또는 공통집합) 의 개념이 반드시 필요합니다.

(a) 연립방정식과 연립부등식 (systems of equations and inequalities)

(b) 절대값이 들어간 방정식과 부등식 (equations and inequalities with absolute values)

(c) 그래프를 이용한 최대값과 최소값 (finding minimum & maximum values using graphs)

(d) 경우의 수와 순열, 조합 및 확률 (counting outcomes, permutations, combinations & probabilities)

중 1 처음 시작부터, 최소한의 기본 개념과 집합기호는 벤 다이어그림 (Venn diagram) 등의 시각적 응용력과 함께, 반드시 익혀 두도록 하기 바랍니다.

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[ A ] 기본 용어

아래 그림에서 빨간색의 타원으로 표시된, 점 a, b, c 로 이루어진 A 라는 모음을 가리킬 때, A = { a, b, c } 라 표현하고, a, b, c 들을 각각 원소 (element), 이들의 모음인 A 를 집합 (set) 이라고 합니다.


이 때, '원소 a 는 집합 A 에 속한다' 고 표현하고, 기호로는 a ∈ A 와 같이, '원소 d 는 집합 A 에 속하지 않는다' 라고 표현하고, 기호로는 d ∉ A 와 같이 나타냅니다.

위 그림에서 노란색으로 표시된, 집합 B = { a, b, c, d } 라고 한다면, A 는 B 에 포함되니까, '집합 A 는 집합 B 의 부분집합 (subset)' 또는 '집합 A 는 집합 B 에 포함된다' 라고 표현하고 A ⊂ B 의 기호를 사용합니다.

일반적으로, 부분집합이라는 표현은 B ⊂ B 와 같이 같은 집합일 때도 적용됩니다. 위의 예에서 집합 A 는 B 에 포함되는 작은 집합이니까, 특별히 집합 B 의 진부분집합이라고 부르고 A ⊊ B 라는 기호를 사용합니다.

[ B ] 집합의 원소


앞에서 예를 들었던 집합 A , B 에 대해서, 원소의 개수 (number of elements) 를 나타낼 때는 기호를 써서,  n (A) = 3, n (B) = 4 와 같이 표현합니다.

집합 사이의 관계를 시각적으로 잘 보여 주는, 벤 다이어그램 (Venn diagram) 을 사용해서 조금 더 구체적으로 알아 볼까요?

위의 그림과 같이, 파란색으로 표시된 집합 C = { b, c, e, f } 가 있을 때,

(1) 합집합 A∪C 는 집합 A 에 속하거나 또는 집합 C 에 속하는 원소들의 집합으로 A∪C = { a, b, c, e, f } 이고, 수학적 개념으로는 덧셈 ( + ) 의 뜻도 가지고 있습니다.

(2) 교집합 A∩C 는 집합 A 에 속하고 그리고 동시에 집합 C 에 속하는 원소들의 집합으로 A∩C = { b, c } 를 말하며, 수학적 개념으로는 곱셈 ( x ) 의 뜻으로도 사용됩니다.

(3) 전체집합 U 는 위 그림에서 갈색의 직사각형으로 나타낸, 모든 원소를 전부 포함하는 집합을 말합니다.

(4) 여집합 A^c 는 전체집합 U 에는 속하지만, A 에는 속하지 않는 원소들의 집합으로 A^c = { d, e, f, g, h } 가 됩니다.


(5) 차집합 A – C 는 집합 A 에는 속하지만 C 에는 속하지 않는 원소들의 집합으로 A – C = { a } 를 말합니다. 마치 뺄셈을 한 것과 같지요?

반대로, 차집합 C – A 는  집합 C 에는 속하지만, A 에는 속하지 않는 원소들의 집합으로 C – A = { e, f } 를 말합니다.

또, 차집합은 여집합 기호를 사용해서, A – B = A∩B^c 로 정의하기도 합니다.

집합의 기본적인 개념과 정의 및 기호들은, 반드시 복습하면서, 핵심 내용을 깔끔하게 정리해 두기 바랍니다. 배운 것을 스스로 복습하면서 요점을 정리해 나갈 때, 수학실력은 쑥쑥 자라나게 됩니다.

어려운 심화수준의 수학공부도, 기초 단계에서는 정의나 기초공식들 그리고 기본정리들을 반드시 외워 두어야 합니다.

아무리 창의적이거나 혹은 심화 수준의 공부라 하더라도 기초단계에서는 기본용어나 정리를 외우고, 그 바탕 위에서 분석력이나 종합적 사고력을 키워 나가는 것입니다.





여집합의 개념을 활용하는 문제의 예를 볼까요?

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1000 미만의 자연수 중에서, 13 의 배수가 아닌 것의 개수를 구하여라.

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(1) 13 의 배수가 아닌 것을 그냥 세는 것은 너무 심하지요? 그렇게 세고 있는 학생들에겐 문제에서 '1000 미만' 을 '10억 미만' 으로 바꿉니다. ^^

(2) 경우의 수가 규칙성도 없고, 너무 많으니까…, 앞에서 배운 여집합의 개념을 활용해서, 반대의 방법으로 구하는 건 어떨까요?

(3) 어떤 경우들이 있는지를 따져 보다가, 그 경우의 수가 너무 많거나 규칙이 보이지 않을 때, 반대로 생각해서 해결하는 것이 여사건 또는 여집합의 방법입니다.

(4) 전체에서 13 의 배수의 개수만 빼주면 되겠지요?

999 – (13 의 배수의 개수)

= 999 – 76

= 923

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