Geometry Quiz 37204
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Hint 1 " 주어진 그림에서 동위각과 엇각들을 모두 찾아 볼까요? "
Hint 2 " 꼭 필요한 것은 아니지만, 혹시 각 DFE 의 크기도 알아낼 수 있을까요?"
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직선의 방정식(3) 한점을 지나고 평행한 직선
한점을 지나고 평행한 직선
point-slope form of a line equation
"원점을 잡고 지나는 점까지
평행이동시키세요"
" grab & drag the line
from (0, 0) to the point "
일차함수의 그래프는 중고등 수학 전과정에서 다양하게 활용되는 매우 중요한 단원입니다.
문과 고등학생 중에도 직선의 그래프도 제대로 못 그려서 쩔쩔매는 경우를 자주 봅니다. 수학실력의 차이는, 함수와 그래프에서 비롯된다고 할 정도로 중요하니, 기초부터 확실하게 다져 두기 바랍니다.
문과라 하더라도, 고등과정의 다항함수의 미적분까지 공부하는 데 꼭 필요한 중요한 개념이니까 확실하게 이해해 두기 바랍니다.
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기울기를 알고 한 점을 지나는 직선의 방정식을 구하는 방법에는 대표적으로 2 가지가 있습니다.
앞에서 배웠던 y = ax + b 를 활용하는 방법이 가장 기초적이고 기본적인 방법이라면, 한 단계 높은 수준으로, 평행이동의 개념을 이용한 y – β = m (x – α) 의 방법이 있습니다.
어느 정도 실력이 갖추어진 학생이라면, 두 번째의 평행이동을 이용한 방법을 사용하는 것이 응용력의 향상에 도움이 됩니다. 그러면 하나씩 구체적으로 알아 보도록 할까요?
[ A ] 표준적인 y = ax + b 를 활용하는 방법 (slope-intercept form)
예를 들어, 기울기가 2 이고 점 (1, 4) 를 지나는 직선의 방정식은 어떻게 구할 수 있을까요?
(1) 앞에서 배웠던 대로, 직선의 방정식은 y = (기울기) * x + (y 절편) 라고 세우는 것이 가장 기초적인 표준 방법이라고 했었지요? 그런데, 기울기가 2 라고 했으니까, 우선 y = 2x + b 라고 놓을 수 있습니다.
(2) 이 직선이 (1, 4) 를 지난다고 했으니까, 점의 x 좌표인 1 과 y 좌표인 4 를 각각 직선식의 x 좌표와 y 좌표의 자리에 대입하면 만족시켜야 합니다.
(3) 이제, 직선식에 이를 대입해서 b 값을 구하면,
4 = 2 * 1 + b
b = 2
∴ y = 2x + 2
[ B ] 평행이동 y – β = m (x – α) 를 활용하는 방법 (point-slope form)
예를 들어, y = (1 / 2) x 와 평행하면서 점 A = (2, 3) 을 지나는 직선의 방정식을 구해 보도록 할까요?
아래의 그림에서 보듯이 두 직선은 평행하니까, 우리가 식을 구하려는 파란색의 직선은
(1) 검은색의 직선 y = (1 / 2) x 위의 원점을 잡은 다음,
(2) 빨간색 점선을 따라 점 A = (2, 3) 까지 평행이동을 시킨 것이라고 생각해도 되겠지요?
바로 이 원리를 이용하면, 아주 쉽게 파란색 직선의 방정식을 구해 낼 수 있습니다.
위에서 설명한 대로, 파란색의 직선은 검은색 직선 위의 원점 (0, 0) 을 빨간 점선을 따라, 오른쪽으로 2 만큼 그리고 동시에 위로 3 만큼 평행이동 것이니까, 검은색 직선의 식에서, x 대신에 x – 2 를, y 대신에 y – 3 을 동시에 ( ∩ ) 대입하면 됩니다.
y – 3 = (1 / 2) (x – 2)
y = (1 / 2) x – (1 / 2) * 2 + 3
∴ y = (1 / 2) x + 2
이 평행이동을 활용한 방법은 중요하니까, 문자를 써서 정리해 볼까요?
기울기가 m 이고, 점 (α, β) 를 지나는 직선의 방정식은
y – β = m (x – α)
∴ y = m (x – α) + β
공식도 정리했으니까, 확인 문제를 한 번 풀어 볼까요?
직선 y = (1 / 3) x 와 수직이면서, 점 (– 2, 8) 을 지나는 직선의 방정식을 구하여라.
(1) 수직인 두 직선의 기울기는 서로 곱하면 – 1 이 된다는 것은 잘 알고 있겠지요? 따라서, 구하는 직선의 기울기는 – 3 이 됩니다.
(2) 이제, 기울기 = – 3 을 알아 냈고, 점 (– 2, 8) 을 지난다고 했으니까, 위에서 배운 공식을 그대로 적용하면,
y – 8 = – 3(x – (– 2))
y – 8 = – 3x + 3 * (– 2)
y = – 3x – 6 + 8
∴ y = – 3x + 2
삼각형의 닮음(15) 삼각형 내각의 이등분선 정리
삼각형 내각의 이등분선 정리
interior angle bisector theorem
"평행선과 닮음이 이렇게도 활용되네요!"
" we can apply parallel lines & similarity to prove this! "
삼각형 내각의 이등분선 그리고 외각의 이등분선 정리들과 그 증명 과정들은 중학과정의 도형기하 단원뿐만 아니라, 고등학교 및 대입수능 시험에서 복합유형의 응용문제 형태로 자주 등장하는 매우 중요한 내용입니다.
단순히 그 결과를 기억해 두고 사용하는 것도 중요하지만, 평행선의 성질과 닮음을 활용하는 그 증명과정들도 매우 중요하니, 확실하게 공부해 두기 바랍니다.
내각의 이등분선과 외각의 이등분선 정리를 별도로 꼼꼼하고 아주 쉽게 설명할 예정이니, 철저히 이해하고 응용력을 키워 두기 바랍니다.
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삼각형 내각의 이등분선 정리는 아래 그림과 같이 삼각형의 내각의 하나인 꼭지각 ∠A 를 이등분한 선이 밑변 BC 와 만난 교점을 D 라 할 때, 다음 변들의 길이의 비가 서로 같다는 정리입니다.
AB : AC = BD : DC
왜 그럴까요?
다음 그림과 같이, 점 C 를 지나 내각의 이등분선인 AD 와 평행한 직선을 그어, 변 AB 의 연장선과 만나는 점을 E 라고 해 볼까요?
위 그림에 빨간색 점들로 표시된 것과 같이 여러 각들의 크기가 서로 같네요?
초록색으로 표시된 두 평행선의 동위각이니까,
∠BAD = ∠AEC
또, 초록색으로 표시된 두 평행선의 엇각이니까,
∠DAC = ∠ACE
이제, 숨어 있던 이등변삼각형이 잘 보이시나요?
바로 ΔACE 가, 변 AC = 변 AE 인 등변을 갖는 이등변삼각형이지요.
즉, 내각의 이등분선 정리의 좌변인 AB : AC = AB : AE 와 같은 비례값이라는 것이지요.
이번에는, 초록색 평행선으로 이루어진 서로 닮은 두 삼각형을 살펴 볼까요?
ΔBDA 와 ΔBCE 는 ∠B 는 공통이고, 평행선의 동위각으로 ∠BAD = ∠AEC 이니까, 두 삼각형은 서로 AA 닮음이 됩니다.
여기서, BA : BE = BD : BC = 1 : k 라 놓으면, 선분 AE = BE – BA = (k – 1) * BA
그리고, 선분 DC = BC – BD = (k – 1) * BD 이므로
BA : AE = 1 : (k – 1) = BD : DC
그런데, 위에서 이등변삼각형의 등변 AC = AE 인 것을 찾아 냈었지요?
따라서, BA : AE = BA : AC = BD : DC
즉, BA : AC = BD : DC
일차부등식(14) 연립일차부등식
연립일차부등식
systems of linear inequalities
"수직선을 이용하면 연립부등식 풀이도
아주 쉬워지고 실수도 안해요"
" number line diagram makes it easier
to solve systems of inequalities "
연립 일차부등식은 2 개 이상의 일차부등식을 동시에 만족하는 교집합 (∩) 의 해를 구하는 단원입니다.
2 개 이상의 공통된 범위를 구하는 것이므로, 연립방정식의 경우와 같이 전략적 사고에 따른 접근방법을 이해하고, 활용할 수 있어야 합니다.
또한, 수직선 (number line) 다이어그램이나, 좌표평면에서의 그래프의 영역을 이용해서 문제를 파악하고 해결하는 훈련이 절대적으로 필요한 단원입니다.
상위권의 난이도 높은 문제들까지 해결할 수 있는 수학실력을 배양시키기 위해서, 최대한 그래프와 수직선 다이어그램을 활용한 설명을 추가했습니다.
다소 낯설고 어렵게 느껴지더라도, 반드시 기본개념과 응용력을 철저하게 익혀 두기 바랍니다.
다소 낯설고 어렵게 느껴지더라도, 반드시 기본개념과 응용력을 철저하게 익혀 두기 바랍니다.
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연립 일차부등식의 보기 문제부터 보도록 할까요?
아래의 연립 일차부등식을 풀어라.
↱ 3x – 2 > – x – 10
↳ 2x + 1 ≥ 3x – 2
(1) 우선, 주어진 연립방정식을 간단하게 정리한 다음, 아래와 같이 번호를 붙입니다. 그래야, 서로 다른 두 부등식을 그래프나 수직선 다이어그램에서 동시에 구분하면서 나타낼 수 있겠지요?
x > – 2 ⋯ ①
x ≤ 3 ⋯ ②
(2) 두 부등식을 아래와 같이 하나의 수직선 (number line) 에 서로 다른 높이로 함께 나타냅니다. 이 때, 등호가 있는 것은 큼지막하게 속이 채워진 동그라미를 표시하고, 등호가 없는 것은 속이 비어 있는 하얀 동그라미로 표시합니다.
(3) 연립한다는 뜻은 두 구간의 교집합 (∩) 을 구한다는 것이니까, 위 그림에서 파란색으로 표시된 부등식 ① 의 구간과 빨간색으로 표시된 부등식 ② 의 구간과의 공통된 구간 (∩) 을 위 그림에서 읽고 그대로, x 에 관한 식으로 옮기면 됩니다.
– 2 < x ≤ 3
이번에는, 절대값 부등식이 포함된 연립 일차부등식 문제를 풀어 보도록 할까요?
아래의 연립 일차부등식을 풀어라.
↱ 2x + 1 > 3x – 1
↳ | x | ≤ 3
(1) 우선, 주어진 연립방정식을 간단하게 정리한 다음, 아래와 같이 번호를 붙입니다. 그래야, 서로 다른 부등식들을 그래프나 다이어그램에서 함께 나타낼 수 있겠지요?
x < 2 ⋯ ①
– 3 ≤ x ≤ 3 ⋯ ②
(2) 두 부등식을 아래와 같이 서로 다른 높이로 함께 나타냅니다. 이 때, 등호가 있는 것은 속이 채워진, 그리고 등호가 없는 것은 속이 비어 있는 하얀 동그라미로 표시합니다.
(3) 위 그림에서 파란색으로 표시된 부등식 ① 의 구간과 빨간색으로 표시된 부등식 ② 의 구간과의 공통된 구간 (∩) 을 위 그림에서 읽고, 그대로 x 에 관한 식으로 옮기면 됩니다.
– 3 ≤ x < 2
이번에는 같은 문제를, 부등식의 영역을 나타내는 그래프를 이용해서 풀어 보도록 할까요?
(1) 가장 편리하게 부등식의 영역을 좌표평면에 나타내기 위해서, 각 부등식의 한 변을 0 으로 만들어 정리합니다.
x – 2 < 0 ⋯ ①
| x | – 3 ≤ 0 ⋯ ②
(2) 먼저 부등식 ① 에서, 좌변과 우변을 각각의 함수로 간주해서 아래와 같이 좌표평면에 그래프로 나타냅니다.
y = f (x) = x – 2 vs. y = 0
(3) 우변의 식 y = 0 은 바로 x 축을 나타낸다고 앞에서 배웠지요? 따라서, 위의 그래프에서, 파란색의 직선인 y = f (x) = x – 2 가 x 축 아래에 있는 파란색 영역이 해답이 됩니다.
참고로, x 에 관한 부등식을 푸는 것이니까, 부등식의 영역도 x 값을 기준으로 좌표평면에 표시하도록 합니다.
(4) 같은 방법으로, 부등식 ② 에서, 좌변과 우변을 각각의 함수로 간주해서 아래와 같이 좌표평면에 그래프로 나타냅니다.
y = g (x) = | x | – 3 vs. y = 0
(5) 우변의 식 y = 0 은 x 축을 나타내니까, 위의 그래프에서 빨간색의 꺽은선인 y = g (x) = | x | – 3 이 x 축과 같거나 그 아래에 있는 빨간색 영역이 해답이 됩니다.
(6) 이제, 위 그림에서 파란색으로 표시된 부등식 ① 의 영역과 빨간색으로 표시된 부등식 ② 의 영역과의 공통부분 (∩) 인 보라색의 영역이 정답을 나타냅니다.
(7) x 에 관한 부등식이니까, 최종적으로 찾아낸 보라색의 영역을 x 축에 대해서 x 기준으로만 읽어야 합니다. x = – 3 인 경계선은 포함되고 x = 2 인 경계선은 포함되지 않으니까, 그래프에서 읽고 그대로 식으로 옮기면,
– 3 ≤ x < 2
기초단계에서는, 좌표평면에서 부등식의 영역을 표시하고 그래프로 푸는 방법이 더 까다롭고 어렵다고 느껴질 지도 모르겠지만, 상위권의 심화수준으로 갈수록, 오히려 쉽고 강력한 해결 방법이니까, 반드시 기본 원리와 해결 과정을 철저하게 익혀 두기 바랍니다.
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