3. 문자로 표시된 순환소수 (심화)
[ converting decimals to fractions
: advanced ]
초등산수와는 달리, 중등수학부터는
숫자 대신에 문자로 표시되는 일반화, 추상화, 기호화의 개념수학이
시작됩니다.
중고등수학에서의 상위권 실력을 갖춘다는 것은,
각 단원별로 이러한 일반화, 추상화, 기호화의 개념을 충분히 익혀서 자기 것으로 만들고, 유사한 문제를 만났을 때, 이 개념들을 이용해, 해결해 나갈 수 있는 응용력을 키우는 것입니다.
순환하는 무한소수가 숫자 대신에 문자로 주어지는 경우, 많은 학생들은 크게 당황하게 됩니다만, 앞에서 공부한 [똑같은 꼬리 자르기] 기법을 활용하면 됩니다.
기본적이면서도 중요한 내용이니까, 반드시
기본개념을 먼저 확실하게 이해하고 익혀 둔 다음에, 시간
절약만을 위해서 [순환소수를 분수로 바꾸는 공식]을
이용하는 것이 바람직합니다.
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앞에서 공부한 표준과정은 충분히 이해했을 테니까, 이번의 심화 수준 공부는 곧바로 예제부터 보도록 할까요?
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한 자리의 자연수 a 가, 아래의 부등식
\(\frac{7}{{12}}{\rm{ }} < {\rm{ }}0.\mathop a\limits^ \bullet {\rm{ }} < {\rm{ }}\frac{7}{{10}}\) 을 만족한다고
할 때,
a 의 값을
구하여라.
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(1) 숫자가 아니고 문자로 표시된 순환소수도, 앞에서 배운 대로
[똑같은 꼬리 자르기] 기법을 활용하면 됩니다.
(2) x =
\(0.\mathop a\limits^ \bullet \) 라 놓고, 똑 같은 꼬리를 만들려면, 양변에 10 을 곱해 주면
되겠지요? a 는 한 자리수이니까, 숫자와 똑같이 계산하면 됩니다.
x =
\(0.\mathop a\limits^ \bullet \) ⋯
①
10 x = \(a.\mathop a\limits^ \bullet \) ⋯
②
(3) [똑같은 꼬리를 자르는 기법]으로, 큰 값에서 작은 값을 빼주면,
② ‐ ① : [ 가감법 ]
9 x
= a. 따라서, x = \(\frac{a}{{{\rm{ }}9{\rm{ }}}}\)
(4) 이제, 주어진 부등식에 대입한 후에, 분모들의 최소공배수로 통분
하거나, 아예 처음부터 통분도 할 필요없이 간단하게 각 변에
양(+)의 값인 분모들의 최소공배수 180 을 곱해 주면,
양(+)의 값인 분모들의 최소공배수 180 을 곱해 주면,
\(\frac{7}{{12}}{\rm{ }} < {\rm{ }}\frac{a}{9}{\rm{ }} < {\rm{ }}\frac{7}{{10}}\) 이므로, 105 < 20a < 126
(5) 계산하면, 5.25 < a < 6.3 따라서, 답은 a = 6
이번에는, 조금 더 어려운 예제를 풀어 볼까요?
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한자리의 자연수 a 와 b 가 a < b 이고,
두 순환소수 \(0.\mathop a\limits^ \bullet \mathop b\limits^ \bullet + 0.\mathop b\limits^ \bullet \mathop a\limits^ \bullet = 0.\mathop 4\limits^ \bullet \) 를 만족할
때,
a 와 b 의 값을
구하여라.
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(1)
문자로 표시되어 있다 하더라도, 앞에서 공부한 [똑같은
꼬리 자르기]
기법을
활용하면 되겠지요? 원리를 완벽하게 이해하였다면,
공식을
적용해서 그대로 구해도 됩니다만,
(2) 문자로 표시했을 때, 정수부분의 자릿수는 주의를 해야만 합니다.
예컨데, 문자로 표시된 ab.c
는
십의 자리를 감안해서,
10a + b + \(\frac{c}{{10}}\) 로 나타내야만 합니다.
(3) x =
\(0.\mathop a\limits^ \bullet \mathop b\limits^ \bullet \) 라 놓고, 똑 같은 꼬리를 만들려면, 양변에 100 을 곱해 주면
되겠지요? a 와 b 는 한 자리의
자연수이지만, 십의 자리인 a 는
숫자와
똑같이 표현하면 안되겠지요?
x =
\(0.\mathop a\limits^ \bullet \mathop b\limits^ \bullet \) ⋯
①
100 x
= 10a + b + \(0.\mathop a\limits^ \bullet \mathop b\limits^ \bullet \) ⋯
②
(4) 이제, [똑같은 꼬리를 자르는 기법]으로, 큰 값에서 작은 값을 빼주면,
② ‐ ① : [ 가감법 ]
99 x
= 10a + b 따라서, \(x = \frac{{10a + b}}{{99}}\)
(5) 마찬가지로, \(0.\mathop b\limits^ \bullet \mathop a\limits^ \bullet = \frac{{10b + a}}{{99}}\) 이고, \(0.\mathop 4\limits^ \bullet = \frac{4}{9}\) 이니까,
식을 정리하면, \(\frac{{10a + b}}{{99}} + \frac{{10b + a}}{{99}} = \frac{4}{9}\) 이므로,
a + b = 4
(6)
그런데, a 와 b 는 한자리의
자연수이고, a < b 라 했으니까,
답은 (a,
b) = (1, 3)
마지막으로, 문자로 표시된 순환소수 \(a.b\mathop c\limits^ \bullet \mathop d\limits^ \bullet \) 를 [똑같은 꼬리 자르기] 기법을 활용해서 분수로 나타내 볼까요?
(1) x = \(a.b\mathop c\limits^ \bullet \mathop d\limits^ \bullet \) 라 놓고, 똑 같은 꼬리를 만들려면, x = \(a.b\mathop c\limits^ \bullet \mathop d\limits^ \bullet \) 라
놓은
식이 아니라, 양변에 10 을
곱한 식과 1000 을 곱한 식 2 개가
있어야 하겠지요?
(2) 또, 앞에서 배운 대로, 정수부분의 자릿수는 주의를 해서 십의 자리나
백의 자리의 문자 등은 숫자와 똑같이 표현하면 안되지요?
10 x
= 10a + b + \(0.\mathop c\limits^ \bullet \mathop d\limits^ \bullet \) ⋯
①
1000 x
= 1000a + 100b + 10c + d + \(0.\mathop c\limits^ \bullet \mathop d\limits^ \bullet \) ⋯
②
(3) [똑같은 꼬리를 자르는 기법]으로, 큰 값에서 작은 값을 빼주면,
② ‐ ① : [ 가감법 ]
990 x
= 990a + 99b + 10c + d
따라서, x = \(\frac{{990a + 99b + 10c + d}}{{{\rm{ }}990{\rm{ }}}}\)
이 결과를 한 번, 외우고 있는 공식에 대입해서 확인해 보도록 할까요?
(1)
공식에
그대로 대입하면, 소수점 아래에서 순환마디의 개수가 2개,
순환마디에 포함되지 않는 숫자가 1개이니까, 분모는 990
(2) 이제, 분자는 그대로 표현하면, abcd
– ab
이지만, 문자로 표시된
경우에는 앞에서 배운 대로, 정수부분의 자릿수는 주의를 해서,
백의 자리의 문자 등은 숫자같이 그대로 표현하면 안되지요?
(3)
따라서, 분자는 (1000a + 100b + 10c + d) –
(10a + b) 이니까,
계산하면, 990a + 99b + 10c + d
앞에서 공부한 [똑같은 꼬리를 자르는 기법]의 결과와 똑같지요?
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